ANALEMÀTICS BARCELONINS

Rellotge analemàtic de la Plaça Maria Cristina. S’aprecien el quadrant horari, el cercle on hi ha l’analema, i una representació de la longitud i latitud de Barcelona. Fes clic per veure els detalls.

Aquest títol és tan misteriós que alguns lectors no han ni tan sols començat a llegir. Però tu no ets d’aquests. Això va de rellotges de sol, és a dir, de gnomònica, que és la ciència que els estudia i la tecnologia que els fabrica. Però també va de passejades i de conèixer la ciutat.

[Abans de seguir, una petita pregunta. Quants errors hi ha a la frase “El Sol surt de dia i la Lluna surt de nit“? La solució, al final del post.]

L’analema del rellotge de la plaça Maria Cristina. Fes clic per ampliar.

Que jo sàpiga, hi ha dos rellotges de sol analemàtics a Barcelona. Un és a la plaça Maria Cristina, a la vorera contrària al Corte Inglés. Va ser dissenyat el 1997 per Eduard Farré, i la part artística fou de Quim Deu. L’altre és al Fòrum, instal•lat el 2004, amb disseny de Ramon Farré-Escofet i Joan Claudi Minguell, i la col•laboració de Magda Mària, Eduard Farré i Olivé i Amèrica Sánchez. És a la prolongació de la Diagonal, a uns 50 m a l’oest de la gran placa fotovoltaica. Les seves coordenades són 41.411467 N, i 2.226297 E, Pots posar-les a Google Earth i en gran ampliació se’n aprecia perfectament el disseny.

Lectura de l’hora a les 10 (hora oficial, que és l’hora solar + 1 a l’hivern) del dia 29 de gener de 2014. Fes clic per ampliar.

Un rellotge analemàtic és un rellotge de sol en que l’agulla o gnomon és reemplaçada pel cos de l’observador, que es col•loca a un punt determinat, i la seva ombra indica l’hora solar sobre un quadrant amb les hores dibuixades a terra. El nom li prové del concepte d’analema, gens habitual. Si mirem el diccionari (he fet servir el DIEC2 digital) veurem que “un analema és un gràfic en forma de vuit que resulta de l’observació de la posició del Sol en el cel a intervals regulars al llarg de l’any i sempre a la mateixa hora, en el qual es basen alguns quadrants solars“.

Suposo que no ha quedat gaire clar. L’analema és -vegeu les fotos adjuntes- aquesta figura en forma de 8 dibuixada a terra, amb indicacions dels mesos de l’any on l’observador s’ha de situar. Els mesos de juny-juliol són els més propers al quadrant on hi ha els hores, i el desembre-gener els més llunyans. Com funciona tot plegat?

El sol, d’un dia a l’altre, no sempre passa pel mateix lloc del cel. A l’hivern va més baix que a l’estiu, o sigui que a una hora determinada a l’hivern fem les ombres més llargues que a l’estiu. Si tenim fixades a terra les posicions de les hores, ens hem de posar més a prop (estiu) o més lluny (hivern) per tal que la nostra ombra es dirigeixi clarament cap a l’hora marcada a terra. Això explica la forma allargada de l’analema, i la posició relativa dels mesos: com més a prop de l’estiu, més a prop del quadrant.

Pel que fa a la forma de 8, costa una mica més d’explicar. Anem una altra vegada a l’experiència. Si pregunto per on surt el sol, i per on es pon, la resposta és inmediata: per l’est i per l’oest, respectivament. I això és força fals… Això només passa el dia 20 (o 21) de març, i el 22 (o 23) de setembre: són els equinoccis de primavera i de tardor, respectivament. Aquest terme d’equinocci és una mica tècnic: ve del llatí aequinoctium, que vol dir nit igual, és a dir que la nit té la mateixa durada que el dia.

El dia que el sol surt més tard i es pon més aviat és aproximadament el 21 de desembre, a l’hemisferi Nord. És el solstici d’hivern, paraula que ve de solstitium, que vol dir sol quiet, perquè durant alguns dies el sol sembla sortir més o menys del mateix punt. Aquest dia el sol no surt per l’est sinó força més al sud, a algun punt del sudest. Al llarg del dia el recorregut aparent del sol pel cel va transcorrent baix, i es pon cap al sudoest, no just a l’oest. A partir d’aquest dia, al llarg de l’hivern, el punt per on surt el sol va variant cada dia, i es va acostant a l’est, per on sortirà el dia de l’equinocci de primavera. Després, al llarg de la primavera, va sortint cada cop allunyant-se de l’est i anant cap al nordest, fins el dia 21 de juny que és quan surt més al nordest. És el solstici d’estiu. I aquest dia, el sol és quan va més alt per sobre de l’horitzó, i es pon també cap al punt més alt del noroest. I a partir d’aquí, al llarg de l’estiu, el camí de tornada, fins a tornar a passar per l’equinocci de tardor -l’est-, i progressivament més cap al sudest al llarg de la tardor i arribar al solstici d’hivern.

Si has seguit més o menys aquesta explicació comprendràs que a una hora determinada, posem les 10 del matí, l’ombra que fem dependrà de quin dia és, tant pel que fa a la llargària de l’ombra (per l’alçària variable del sol) com pel que fa a la direcció que senyala (pel fet que el sol no surt sempre del mateix punt ni passa per allà mateix del cel). Com que el que volem és tenir un rellotge dibuixat a terra amb les hores en posicions fixes, nosaltres ens haurem de posar en un punt diferent cada dia de l’any: tant més a prop del quadrant de les hores com més a prop del solstici d’estiu siguem, i una mica a la dreta o una mica a l’esquerra depenent de si estem a la primavera o a la tardor. En lloc de marcar a terra 365 punts diferents, un per cada dia, es simplifica el dibuix i s’hi posen només els dotze mesos de l’any. Els astrònoms i gnomonistes van dissenyar l’analema de forma experimental, i ara amb càlculs sofisticats.

Naturalment tot això anterior és només una aproximació elemental al complicadíssim tema de la relació entre els moviments astronòmics i la mesura del temps. Podriem complicar-ho començant per constatar que no és el Sol sinó la Terra la que es mou, després parlant de l’eclíptica, de la precesió, de l’excentricitat de l’òrbita terrestre, de la nutació… però no ho farem.

Aquests rellotges de sol amb l’analema són molt més precisos que els simples rellotges típics de les masies, amb una agulla estàtica i les hores fixes. Si vols fer una excursió urbana per uns quants rellotges de sol de Barcelona, de diferents estils, aquí en tens la ressenya, feta per especialistes [+].

*************
Resposta a la qüestió inicial.
Que la lluna no només surt de nit, sinó que surt també de dia és un fet que tothom ha d’haver observat. Només has de sortir al carrer i mirar: la meitat dels dies la Lluna surt de dia. I això malgrat la cançó dels anys cinquanta que es deia “La Luna se llama Lola“:

La Luna se llama Lola,
el Sol se llama José.
El Sol madruga y trabaja
y vuelve al anochecer.
Como llega tan rendido
se retira a descansar
y cuando el Sol se ha dormido
sale la Luna a rondar.

A la frase hi ha un altre error, aquest de tipus lògic. No és que el sol surti de dia, és que es defineix que és de dia quan hi ha sol. No sé als paisos de més enllà dels cercles polars quina mena de terminologia deuen fer servir per dir que “és de dia“… quan estan sis mesos sense que el sol els toqui…

Rellotge analemàtic del Fòrum de Barcelona. Dia 3 d’agost de 2014 a les 9 (hora solar), les 11 hora oficial (a l’estiu hora solar + 2). Fes doble clic per veure els detalls de l’analema.

L’ART CIENTÍFIC QUE M’AGRADA- 11. EL MERIDIÀ DE LA MERIDIANA

La reforma actual de la plaça de les Glòries de Barcelona ha obligat a buidar tota la part central, on hi havia un jardí, 12 monuments amb lloses que lloaven les glòries catalanes, i una escultura dedicada al meridià i a la Meridiana. Les altres escultures dormen a un magatzem municipal, però aquesta darrera ha estat traslladada fa pocs mesos a l’avinguda Meridiana, davant del número 91. Hi hem sortit guanyant, perquè aquell jardí de l’interior de Glòries van tancar-lo molt aviat, per evitar que a dins hi visquéssin indigents, s’hi fes gay crossing i s’hi muntéssin uns encants paral•lels. Aquests encants paral·lels es muntaven igual al voltant de les Glòries, però la guàrdia urbana ho tenia més fàcil per expulsar els venedor.

L’escultura citada vol commemorar l’operació de mesura del meridià terrestre entre Dunkerque i Barcelona. Ambdues ciutats estan aproximadament sobre el mateix meridià, el meridià de París (E 2º20’14,025″), de referència fins que fou substituit pel de Greenwich el 1884. El meridià de la Meridiana és el E 2ª13’45,38″. De fet el meridià de París arriba al Mediterrani a la platja d’Ocata, on hi ha un monòlit commemoratiu. La mesura del meridià tenia per últim objectiu concretar la longitud del metre, que havia estat definit el 1791 com a deumilionèssima part del quadrant de meridià. El 25 de juny de 1792 van començar els treballs de mesura de la longitud entre Dunkerque (latitud N 51º2’9,20″) i Barcelona (N41º21’44,95″), en les unitats de longitud d’aquell temps (peus i línies). Aquesta feina va requerir molt treball. Els astrònoms i geodestes francesos Pierre Méchain i Jean-Baptiste Delambre, juntament amb molts estudiosos locals dels territoris per on passaven, van definir una xarxa de punts de triangulació situats a les muntanyes, i van anar prenent mesures precises de les distàncies entre elles, mitjançant les tècniques més avançades del moment. La feina els va durar dos anys, en plena Revolució Francesa i mentres a París guillotinaven el seu rei, i es generava una guerra entre Espanya i França.

Vista general del monument. Fes clic per ampliar

A Barcelona alguns d’aquests punts de triangulació eren a una torre de la Catedral, a la Torre del Rellotge de la Barceloneta, al Parc de la Ciutadella, i al Castell de Montjuïc, darrer dels punts utilitzats. Altres punts de Catalunya usats com a referència foren el turó d’en Mates, el puig Rodós, el Matagalls, el Puigsacalm, Rocacorba, la Mare de Déu del Mont, i el puig d’Estel•la. La base de triangulació fonamental, a partir de la que es poden calcular totes les altres distàncies, fou la distància entre Perpinyà i Salses. Un cop coneguda la distància exacta entre Dunkerque i Barcelona, van calcular la longitud de tot l’arc de meridià, per finalment trobar l’equivalència del metre.

Però la Meridiana és molt posterior. Va ser dissenyada per Ildefons Cerdà. el 1859, que també va dibuixar el Paral•lel, que es creua virtualment amb la Meridiana precisament a la Torre del Rellotge de la Barceloneta.

Una altra vista del monument. Fes clic per ampliar.

Mapa de triangulacions. Fes clic per ampliar.

El 1992, any olímpic, es va inaugurar al centre de la plaça de les Glòries el monument al Meridià, pagat per un banc local i l’ajuntament de Dunkerque. És obra dels arquitectes i dissenyadors francesos Alain Domingo i François Scali, coneguts també com a equip Nemo, que treballen conjuntament des de 1981. Es tracta d’un monument d’acer Corten [+] de 35 metres de llarg i un parell de metres d’alt, que representa a escala 1:35000 (longitudinal, no vertical) el perfil geogràfic entre Barcelona i Dunkerque. S’hi distingeixen destacadament el Massis Central francès, i els Pirineus. A la part nord del monument hi ha unes inscripcions on es representen les equacions que els astrònoms feien servir pels seus càlculs, i un mapa on es veu tot el traçat del meridià, amb les triangulacions usades. Ambdos documents són facsímils dels originals usats pels científics. Deuen ser les úniques equacions monumentalitzades en públic de Barcelona.

Detall del monòlit d’Ocata, instal·lat l’any 2006. Fes clic per ampliar.

Si t’interessa l’excursionisme pots provar de seguir el Meridià Verd, un camí que a Catalunya va del Coll de Pal fins a la platja d’Ocata, al Masnou, per camins de muntanya i aptes per BTT. [+]

I si t’interessa la ciència vés a visitar el monument de la Meridiana. Potser d’aquí a quatre dies el tornen a treure… O al monòlit de la platja d’Ocata, al camí litoral que uneix les estacions d’Ocata i Premià de Mar, a uns 2 km de distància de cada estació.

Ampliació 22-9-14 El meridià de París no passa realment per Barcelona, sinó per Ocata. Ja ha estat rectificat al text del post.

Equacions del monument

Monòlit a Ocata, des d’on es veu Montjuïc, final de les triangulacions, a 19,22 km. Fes clic per ampliar.

L’ART CIENTÍFIC QUE M’AGRADA-9: CARLES BERGA I LA DOBLE CREU

Doble creu, de Carles Berga. Llàstima de la finestra del fons, inevitable.

El castell de Montjuïc a Barcelona ha estat retornat a la ciutat des de fa uns anys. Les diverses sales on fins el 2008 hi havia el Museu Militar van canviant d’estètica i s’hi van fent activitats d’exposició, algunes relacionats amb el mateix castell i la seva història.

Des de 2011 hi ha exposat, en una petita sala, un muntatge de Carles Berga denominat Doble creu. Carles Berga és un arquitecte especialitzat en muntatges tridimensionals. Va crear la peça Doble creu el 2004, i va ser exposada a la Fundació Vila Casas. Des de 2011 s’exposa a Montjuïc.

El muntatge consisteix, simplement, en una creu llatina de ferro, i un mirall al davant. Al mirall s’hi veu una estrella de sis puntes, coneguda com a estrella de David, i símbol del judaïsme que, sorprenentment, és el reflex de la creu llatina, símbol del cristianisme. Com és possible que una creu llatina es reflecteixi en forma d’estrella de David? Es tracta d’un efecte òptic que juga amb el fet de que la aparent creu llatina és realment un conjunt de dotze barres de ferro que, vistes des del punt on s’observa la instal•lació fan la impressió de que és una creu llatina, però que realment no ho és en absolut, Es pot veure molt bé la complexitat de la peça i com és feta en aquests videos [+] i dibuixos [+] del mateix Carles Berga. A Montjuïc hi havia el cementiri jueu, d’aquí li ve el nom a la muntanya, i la instal·lació a aquesta ubicació hi fa una referència.

Aquest muntatge em recorda les anamorfosis, il•lusions òptiques que hi tenen una mica a veure i que ja van ser presentades a una entrada anterior. Et recomano que la repassis aquí [+].

En aquesta doble creu, a més de la il·lusió òptica, s’hi afegeix la dualitat de sentit dels símbols. No és el dualisme ona-partícula, que aquí no hi té res a veure, malgrat que un text de l’autor del muntatge parla de la física quàntica. Els antics versos de Ramón de Campoamor (1817-1901) ens apunten molt millor per on va la resposta:

En este mundo traidor
nada es verdad ni mentira
Todo es según el color
del cristal con que se mira

En aquest cas no es tracta de colors sinó de l’angle de visió des d’on es mira. Per cert, i parlant d’il•lusions, és molt probable que no hagis llegit els versos anteriors sinó que només hi hagis passat la vista; i, com que probablement ja te’ls sabies, has imaginat que llegies que “…nada es verdad ni es mentira. Cada cosa es del color del cristal con que se mira“. I no, el poema no diu això . T’equivoques en dos punts.

A mi la doble creu i el que amaga em recorda el llibre Gödel, Escher, Bach, un Eterno y Grácil Bucle, com es va traduir, de manera una mica forçada, el llibre Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, de Douglas R. Hofstadter. Aquest llibre monumental de 882 pàgines es va escriure el 1979, el CONACYT de Mèxic el va traduir al castellà el 1982, i va ser editat a la col•lecció Metatemas de Tusquets Editores el 1987. Aquesta és l’edició que vaig llegir -no del tot- fa més de vint-i-cinc anys, i que ara rellegeixo.

El llibre és una llarga reflexió sobre paral•lelismes entre la construcció d’obres musicals de Johann Sebastian Bach, diversos dibuixos d’Escher, i una complexa reflexió sobre el teorema de Gödel, que ve a dir que tota formulació axiomàtica de teoria de números inclou proposicions indecidibles, o, més simplificadament, i dit en els meus inexactes termes, que una teoria no pot validar-se a ella mateixa. Tot, amanit amb molts diàlegs entre Aquil•les i la Tortuga, començant pel diàleg original de Zenó d’Elea, seguint pel diàleg sobre Què li va respondre la Tortuga a Aquil•les, de Lewis Carroll, i molts altres diàlegs inventats pel mateix Hofstadter.

Doncs bé, en aquest llibre hi ha una fotografia d’una peça escultòrica, un cub tallat de forma intrincada, en el que la projecció de llums cap a tres de les seves cares ortogonals genera tres ombres que dibuixen cadascuna de les inicials G, E, B. És la sublimació d’aquelles anamorfosis elementals escolars que dibuixavem, com aquella d’un mexicà que va en bicicleta.

Cub de “Gödel, Escher, Bach”

El mexicà en bicicleta…

(Anterior entrada d’aquesta sèrie: Arthur Ganson i l’eternitat)

PANOTS DE BARCELONA

Actualitzat 6-5-21

Actualitzat 17-3-18

Actualitzat 1-1-18
Actualitzat 4-7-17
Actualitzat 4-11-2015
Corregit 1-4-2016 i 21-1-17

Actualització 15-3-18. Al carrer Pegàs (barri de la Sagrera), entre Pacífic i Portugal, i a la cantonada Portugal-Pegàs, hi ha algunes filades dels panots Mataró, segurament posats per particulars quan van destrossar la vorera per fer obres. Vegeu la foto als panots Mataró.

Actualització 1-1-18. S’acaba de publicar el llibre “Barcelona a ras de suelo“, que és la tesi doctoral de Denia Esparza dirigida per Antoni Remesar, professor de la Facultat de Belles Arts de la UB. És una obra monumental on s’analitzen detalladament els paviments de Barcelona i Lisboa al llarg dels segles, i es fa una especial incidència en els panots, naturalment. El llibre és editat per Publicacions i Edicions de la UB, i té l’ISBN 978-84-475-4006-8. Tot el que es diu a aquesta entrada de blog és en el llibre minuciosament descrit, amb notes històriques i contextualització. Molt recomanable.

Barcelona a ras de suelo, de Denia Esparza. Fes clic per ampliar.

+++++++++++++++++++

El terme panot no surt al diccionari clàssic de Pompeu Fabra, ni a l’etimològic de Joan Corominas, però sí a l’Enciclopèdia Catalana i al DIEC2. Ho deriven del francès panneau, que vol dir moltes coses, i entre elles, lloseta de construcció. Els panots són les rajoles típiques de les voreres de Barcelona, especialment de l’Eixample, però estesos per molts barris antics i moderns.

Hi ha diversos blogs més o menys erudits que en parlen (per exemple aquest [+]) i és difícil dir-ne res de nou. Però és un tema que em crida l’atenció cada vegada que hi camino, i m’havia proposat escriure’n una entrada.

En un país occidental burocratitzat al màxim tot està regulat, també les mides i materials de les voreres, de les calçades i de les vorades (bordillos). A les ordenances de començament del segle XX s’hi pot llegir: “Deberán las aceras estar formadas por baldosas o losetas.(…) que no excedan de 400 centímetros cuadrados y de 4 centímetros de espesor mínimo” (…) “Su cara superior deberá ser lisa, lustrosa, debiendo en ella formarse dibujos por medio de ranuras o cantos (…)“. A l’excel•lent treball del Master de Disseny Urbà per la UB de Danae Esparza, consultable aquí [+] es pot trobar un estudi històric i tècnic complet dels paviments de Barcelona i d’altres llocs. El 1906 l’Ajuntament va aprovar sis models de panot.

Antiga sseu de la casa Escofet. Fes clic per ampliar.

Placa commemorativa.de la casa Escofet. Fes clic per ampliar.

La casa Escofet, fundada el 1886 i que segueix ben viva [+], va ser qui el 1916 va guanyar un concurs de subministrament de panots a l’ajuntament. L’empresa tenia la seu a la Ronda de la Universitat nº20, a Barcelona, on ara hi ha a terra una placa commemorativa. Abans que la casa Escofet es creés, la casa M.C. Butsems i la casa Orsola, Solá y Cía, on el Sr. Escofet es va formar, ja fabricaven panots. (Agraeixo aquesta darrera informació a Jordi Griset, autor de l’excel·lent llibre “L’art del mosaic hidràulic a Catalunya”) [+].
Els panots són quadrats de 20 cm de costat i 4 de gruix, fets de ciment hidràulic (ciment Portland, sorra i aigua). Les ranures de la cara superior són mitjos cilindres d’un cm d’ample i -lògicament- mig de fons. Hi ha molts models de panots, que m’agradaria classificar basant-me en algunes característiques tècniques i de funcionament.

• Si té eixos de simetria o no.
• Ordre del centre de gir. Si un gir de 90º pot fer que el panot quedi igual, n’hi direm d’ordre 4. Si cal un gir de 180º l’ordre és de 2.
• El dibuix de les ranures. Poden ser traços oberts, que van fins a la vora del panot, o tancats. En el primer cas l’aigua de la pluja o del reg pot fluir d’un panot a l’altre, però en el segon cas no.
• La longitud total de les ranures. Com més gran sigui més aigua poden retenir i vehicular, però més rugosa serà.

Anirem comentant els diferents panots dels que se’n adjunta fotografia. Totes són fetes recentment per l’autor.

Pati de carruatges de la Casa Amatller (Pg. Gràcia) on Puig i Cadafalch va posar els seus primers panots, precursors de la rosa de Barcelona. Fes clic per ampliar.

Panots del pati de carruatges de la Casa Ametller. Alguns són restaurats. Fes clic per ampliar.

• Panots de 4 o 9 pastilles quadrades, denominats també “de presa de xocolata“. 4 eixos de simetria, centre de gir d’ordre 4, ranura oberta de 40 o 80 cm. Molt clàssic i estès. El de 4 pastilles és dels sis inicials, i hi ha qui n’hi diu panot Sabadell. El de 9 pastilles és denominat també panot Terrassa.
• Panot de 4 pastilles i 4 anelles. 4 eixos de simetria, centre de gir d’ordre 4, ranura oberta i tancada d’ uns 100 cm. Molt clàssic i estès, dels sis originals. Hi ha també el de 4 pastilles i 2 anelles, que no he vist per enlloc de Barcelona (i que en diuen panot Mataró) (Vegeu actualització al final).
• Panot “de les roses“. Molt antic, amb quatre triangles de costats corbats units amb tiges a una creu central. 4 eixos de simetria, centre de gir d’ordre 4, ranures tancades d’uns 140 cm. N’hi ha molt pocs. Jo els he vist als carrers Londres 94 a 98 i Diputació 51 a 55. Estan molt gastats i dispersos. Era un dels sis originals, que es va suprimir aviat del catàleg, perquè el 1916 ja no hi era.
Actualització 4-7-17 Al carrer Provença 159, tocant a leparets, hi ha alguns panots amb una variant del panot de les roses.
• Panot de “la rosa de Barcelona” (o “la flor de Barcelona“). Sembla que dissenyat per Josep Puig i Cadafalch. Té una circumferència central de la que en surten quatre altres circumferències truncades. 4 eixos de simetria, centre de gir d’ordre 4, ranures tancades d’uns 85 cm. És el més característic de tots, i ha donat lloc a tota mena d’objectes decoratius, joies, bosses, xocolates [+], recipients… És dels sis originals. Fou copiada (i millorada) a Bilbao [+].
Actualització 4-7-17. Hi ha alguns exemplars de panot de la rosa amb unió de cada pètal i la vora del panot.: ranures obertes. Només em consta al carrer Rocafort 189 a la vora de les parets.
• Panot de quatre cercles i quadrat central. 4 eixos de simetria, centre de gir d’ordre 4, ranures tancades d’uns 80 cm. N’hi diuen panot “del rombe” però el que hi ha al centre és un quadrat de costats corbats. Com que sembla que estigui aguantat per un vèrtex n’hi diuen rombe, perquè als llibres de text els rombes sempre surten així, però els quatre angles dels vèrtexs són iguals. És un dels sis originals.
• Panot de tres anelles concèntriques. 4 eixos de simetria, centre de gir d’ordre 4, ranures tancades d’uns 90 cm. No molt habitual. És dels sis originals.
• Panots de cinc o sis barres. 2 eixos de simetria, centre de gir d’ordre 2, ranures obertes de 80 o 100 cm. S’assemblen als encaminadors per a invidents dels passos de peatons i parades d’autobús, que tenen 4 barres i ranures més amples.
• Panots de macarrons diagonals (20 ó 33). Els macarrons són tires estretes arrodonides i llargues, que no tenen res a veure amb els macarrons de cuina. 2 eixos de simetria, centre de gir d’ordre 2, d’uns 300 o 450 cm de ranures obertes, més estretes que les dels altres panots. Hi ha també els panots de macarrons paral•lels als costats, que no he trobat.
• Panot de “la B de Barcelona“. El 2008 es va proposar un nou disseny de panot, amb 4 lletres B majúscules. Va ser experimentat al carrer de Ganduxer 130, davant de l’Espai Cultural Pere Pruna, però no s’ha difós més. Les B’s no són ranures sinó alt relleus, pel meu gust més incòmodes. Cap eix de simetria, i centre de gir d’ordre 4.
• Panots de tacs. Són antilliscants, i ja no tenen ranures sinó protuberàncies aillades, com alt relleus. N’hi ha de 16 tacs i de 50 tacs, i de colors gris o vermell. 4 eixos de simetria, centre de gir d’ordre 4.
• Panots de lletres, que es posaven a la vorera i indicaven el nom del carrer, segons l’ordenança de 1916 [+]. En queden molt pocs, i alguns no són complets. El de la foto és del carrer Concepció Arenal a la vorera d’enfront del nº 72. No sé si falta la darrera N de Concepción perquè li van treure o perquè es va fer malbé i la van substituir per un panot normal.
• (10-8-13) Panots llisos, que he vist al carrer Josep Pla (vorera de senars) per indicar el carril bici. No n’he vist enlloc més.

Panot de 4 pastilles quadrades

Panot de nou pastilles quadrades al costat de panot de quatre pastilles

Panot de quatre pastilles i quatre cercles

Panot “de les roses”

Variant del panot de la rosa. Carrer Provença 159, Barcelona.

Panot de la flor o de la rosa de Barcelona

Panot de la rosa amb unions a lesvoreCarrer Rocafort 189, Barcelona

Panot de 4 cercles i quadrat central o “del rombe”

Panot de tres anelles concèntriques

Panot de 5 barres, i panot doble de 10 barres

Panots de macarrons diagonals

Panot de “la B de Barcelona”

Panot de 16 tacs

Panot vermell de 50 tacs

Panots de lletres. Carrer Concepció Arenal davant del nº 72

Panot llis, vist al carrer Josep Pla nº 151 i voltants. Senyala el carril bici.

Quatre triangles i encaminadors amb barres tallades. Gran Via cantonada Rambla Prim

Hi ha altres tipus de panots:
* panots d’espina de peix, usat en altres poblacions (Figueres, especialment) però no em consta a Barcelona.
• panots signats per F.Escofet, un dels primers fabricants de panots. Em diuen que n’hi ha tres, un a la Ronda Universitat. Buscarem.

Panot d’espina de peix (Figueres). “Opus spicatum”?

Altres panots o derivats dels paviments de Barcelona ja no tenen les dimensions dels panots clàssics. En citarem alguns:
• Encaminadors per a invidents, comentats abans: 4 barres amb ranures fondes, que senyalen parades d’autobus o passos de peatons.
• Mitjos panots, rectangles llisos de 20 per 10 cm amb mitges ranures a les vores. Permeten diferents disposicions i orientacions.
• Panots Gaudí, hexagonals, dissenyats per Antoni Gaudí el 1906 per a l’interior de la Pedrera. Cada panot té un terç d’un cargol, d’una estrella de mar i d’una planta, i la seva disposició adequada permet fer els dibuixos complets cada tres panots. N’hi ha de dues mides, l’original de Gaudí de 25 cm, que es posa des de 1997; i el gran de 40 cm de costat, que va ser el primer que es va posar al Passeig de Gràcia. Aquests darrers s’han deixat de posar des de fa anys. Aquest paviment va ser Premi Delta 1965. Se’n venen a les botigues, hi ha un joc de taula que es basa en el seu disseny, i durant un temps alguns turistes els arrencaven i se’ls enduien. Alguns dels panots grans són alusius a Pere Falqués [+], arquitecte municipal de Barcelona i dissenyador, entre moltes altres coses, dels bancs-fanal del Passeig de Gràcia. Pel fet de que al panot Gaudí hi ha un dibuix figuratiu sense simetries no té eixos de simetria i el centre de gir és d’ordre 1: cal girar tota la figura completament per tornar-la a tenir igual.
• Panot circular de la Ruta del Modernisme. Dissenyat el 1995, és una rajola circular vermella amb un disseny molt similar a la Rosa de Barcelona i la inscripció “Ruta del Modernisme“. Podria ser instal•lada inscrita en un panot normal, però solen posar-lo entre quatre panots.
• Panot circular d’arbre. De color verd, i inscrit en un panot convencional. Hi ha el nom de l’arbre en català, castellà i llatí, i l’àmbit geogràfic d’origen.

Encaminador de pas de peatons o de parada de bus, per a invidents

Mitjos panots al costat de panots de 4 pastilles

Panot Gaudí gran

Panot Gaudí petit

Panot dedicat a Pere Falqués

Panot circular de la Ruta del Modernisme

Panot amb informació d’un lledoner

Les empreses especialitzades fabriquen moltíssims més tipus de panots i paviments similars, que no he vist en paviments públics.

Per al meu gust, gairebé tots els panots tenen l’inconvenient de dificultar el pas amb maletes i bosses de rodes petites, tant pel soroll que fa com per les incòmodes vibracions que generen. Suposo que és per això que els paviments de Barcelona, especialment de les zones peatonals i voreres amples, vam sent omplerts amb lloses llises de diferents mides, colors i materials, amb alguna rugositat per evitar les patinades, i amb una mica d’inclinació per afavorir el drenatge de l’aigua.

Hi ha opinions per a tots els gustos sobre anar mantenir els panots, anar-los restaurant i reintroduint, o anar-los substituint. Hi ha argumentació per a tot. No he vist, però, cap plataforma “Salvem el panot!“. Per ara.

Actualització 10-8-13. Adjunto el panot Mataró, subministrat per b.a. Agraït.

15-3-18. Hi ha panots Mataró a Barcelona: carrer Pegàs, entre Pacífic i Portugal.  (Actualització 6-5-21 Aquests panots Mataró han desaparegut per renovació de la vorera)

Panots Mataró a Barcelona (C. Pegàs entre Pacífic i Portugal)

Actualització 10-8-13. Panot Mataró, de quatre pastilles i dos cercles, subministrat per b.a.

Actualització 23-11-13 Restes d’un panot de lletres, a Via Laietana cantonada plaça de l’Àngel.

Panot de lletres. Via Laietana cantonada Plaça de l’Àngel. Foto de l’autor, 23-11-13

Actualització 17-7-14. Restes de panots de lletres, a C. Teniente Coronel Valenzuela cantonada Diagonal

Tte. Coronel Valenzuela cantonada Diagonal. Vorera del Palau Reial.

Actualització 11-10-14

Panot Diagonal. Quatre panots dibuixen una fulla de plataner bord. Fes clic per ampliar

El nou panot Diagonal s’ha començat a instal·lar el 9-10-14 a la vorera muntanya de la Diagonal, entre Calvet i Casanova (davant del nº 590). Ha estat dissenyat per Terradas Arquitectes i produït per Escofet, reproduint les fulles dels plàtans de la Diagonal amb composició de quatre peces. És de color gris clar, que afirmen que reté poc la calor. A la capa superficial incorpora additius que produeixen, per fotocatàlisi, la descontaminació d’òxids de nitrogen de l’atmosfera, i és , a més, bactericida. La base del paviment incorpora àrids reciclats procedents de la planta de fabricació, per reduir la petjada de carboni del producte. La rugositat de la superfície el fa antilliscant (però per ara no el deixen trepitjar). Té una petita convexitat a la base per ajudar a evacuar l’aigua de pluja. Quan plogui ho constatarem.

Panot Diagonal. Començat a instal·lar l’octubre de 2014.

Actualització 23-4-2015
Panots de lletres al carrer Císter cantonada amb Vista Bella, i restes al carrer de Vista Bella amb Císter (devia posar “Vista Hermosa”) i al carrer Císter cantonada amb Claravall.

Carrer Císter cantonada amb Claravall. Foto de l’autor (21-4-15).

Carrer Císter cantonada amb Vista Bella. Foto de l’autor (21-4-15).

Carrer Vista Bella cantonada amb Císter. Al rètol posava Vista Hermosa. Foto de l’autor (21-4-15).

Restes al carrer Escòcia cantonada Antoni Costa.

Carrer Escòcia cantonada Antoni Costa. Foto de l’autor (23-4-15)

Actualització 13-6-15 Panot de lletres a c. Londres cantonada Aribau, vorera mar.

Panot de lletres a c. Londres cantonada Aribau, vorera mar. Foto 13-6-15.

16-6-15. C. París cantonada Aribau, costat mar/Llobregat.

Actualització 9-6-2015

Panot vist a la plaça Rafael Benet – Carrer dels Vergós. Molt escàs, pel que sembla. Agraeixo la informació de PG.

Panot vist a la Plaça Rafael Benet (9-6-2015)

Mitjos panots. Ubicació: Via Augusta – C. Vergós.

Mitjos panots en distribució esbiaixada

Actualització 4-11-15 C. Monestir, amb una M de cap per avall

C. Monestir (Pedralbes) La M balla una mica. Gràcies a J-D.

Actualització 21-1-17 Panot a l’Eixample. No sembla normatiu i probablement hagi estat colocat després que per unes obres es destruissin els normatius. No recordo la ubicació exacta.

Panot no normatiu

L’ESCÀNDOL DE LA SELECTIVITAT

Jo no hi era però m’imagino com va anar. Un alumne comença a resoldre el problema de Matemàtiques i li diu al vigilant de l’aula:

-No hauria de ser 2z i no 2x?

El vigilant, que no sap del tema, diu:

-No ho sé. Vés fent altres problemes, que ho pregunto.

I va al president del tribunal, si és per allà, i aquest -que tampoc té per què saber-ho- diu que ja ho preguntarà. Truca al coordinador de la seva universitat, que tampoc no ho sap i que ho pregunta al coordinador de les PAU, que tampoc ho sap, i aquest ho pregunta al coordinador de Matemàtiques de Catalunya, que és qui ha vigilat i control·lat les qüestions.

I resulta que el paper que ell va passar a imprimir deia 2z i no 2x. Hi ha una errada!

Truca perquè truquin a totes les universitats que truquin a tots els tribunals que truquin a tots els presidents que truquin a totes les aules on es fa l’examen en aquell moment i que diguin que és 2z, no 2x. A algunes aules l’avís arriba al cap de vint minuts, a altres al cap de mitja hora. Uns presidents decideixen donar una mica més de temps de l’examen, altres no…

Què hauria passat si el coordinador hagués tingut una mica més de temps per decidir? Hauria fet quatre números, i hauria vist que el problema TÉ SOLUCIÓ TAL COM ESTÀ ESCRIT amb l’errada, que resoldre’l no és més difícil i que el millor hauria estat no dir res, perquè segur que molts alumnes ja l’havien resolt.

Però ja era tard. A l’alumne li diuen que refaci el problema amb el nou enunciat, amb el temps que això li suposa. Potser ara s’equivoca i abans el tenia bé. Potser es posa nerviós… I si em falten aquelles dècimes per culpa d’això…?

I certs mitjans de comunicació, histriònics, sucant-hi pa. “Com poden avaluar si són gent que comet tantes errades?” “L’Institut d’Estudis Catalans ha revisat els exàmens i se’ls cola un las ciències. Doncs sí que fan bé la seva feina.” “A un lloc havia de dir 64.446 i deia 64.4446.” “Rumors no confirmats d’altres errades intolerables.” “Que els nostres oients ens comuniquin tot allò que hagin detectat.” “Un mapa sense llegenda…” “Que la setmana que ve es torni a fer l’examen de Matemàtiques.” “Que dimiteixi algú.”

L’escàndol de la selectivitat és la quantitat de bajanades que s’han dit, histriòniques, ingènues o malintencionades, totes per una errada que en realitat gairebé no ho era. La resta són errades d’impremta però sense cap conseqüència. Que canviin d’impremta, naturalment. L’escàndol és la ignorància de com van les proves, com si no sabéssin que el problema de l’errada val menys d’un 1% de la nota total de selectivitat, que tots els alumnes es troben en les mateixes circumstàncies, que el problema tenia solució, que acceptaran qualsevol de les solucions, …

Em sap greu per les persones que, directa o indirectament, s’hi han vist afectades des dels seus càrrecs i han intentat donar la millor de les sortides al conflicte: la coordinadora general de les PAU, i el president del Consell Interuniversitari. La seva eficàcia per tal d’evitar els problemes a les PAU, la seva sensibilitat per tal que no sigui l’alumne qui pagui les conseqüències d’una errada només les sabem els que hem estat presidents de tribunal i hem hagut d’anar a resoldre amb ells algun estropici provocat per algun vigilant o corrector que potser ha perdut algun examen, o algun alumne que s’ha emportat l’examen a casa …

Per estrès el que hi va haver aquell any en què certs piquets volien entrar a les aules i impedir que es fessin els exàmens. Mossos i piquets enfrontats a la porta i jo a dins com a president intentant relaxar els alumnes, amb l’examen aturat. Vint minuts inacabables.

L’ART CIENTÍFIC QUE M’AGRADA: 6. M.C.ESCHER

Dubto que cap dels lectors desconegui qui és Escher, artista paradigmàtic de figures impossibles, geometries contradictòries i monstres inquietants. Què es pot dir de nou sobre Escher? De fet en vaig parlar a una entrada per comentar l’edició d’un llibre pop-up sobre els dibuixos d’Escher.

Durant el pont del Primer de Maig vaig tenir l’ocasió de ser a Den Haag (Aquest és un dels noms en holandès de l’Haia o la Haia, en castellà la Haya. L’altre nom en holandès és ‘S-Gravenhage. És curiós que no s’hagi traduït al català per el Faig.). A l’Haia hi ha el Museu Escher, o, més exactament, Museum Escher in het Paleis. El palau del nom és el de la reina Maria, esposa del rei Guillem III, i és tot decorat com era durant el segle XVIII. És un curiós contrast entre l’edifici contenidor i les obres d’Escher.

Maurits Cornelis Escher, o M.C.Escher (1898-1972) fou un artista holandès que feu gravats en fusta I litografies, especialment en blanc I negre, en els que va explorar diversos conceptes no explotats fins a aquell moment, com la tesselació i les perspectives sorprenents. Molts dels gravats i dibuixos d’Escher són classificats com a il•lusions òptiques, i en certa manera ho són, tot i que van més enllà, com en els quadres de Dalí.

Al museu hi ha totes les seves obres emblemàtiques, distribuides en tres pisos que segueixen una presentació més o menys cronològica. Al darrer pis hi ha un conjunt de mòduls que reprodueixen, en forma de peces o objectes en tres dimensions, alguns dels gravats o pintures d’Escher, com a mòduls d’un museu de ciència. Per exemple, hi ha una bola mirall per reproduir l’autoretrat en que es reflecteix en una bola esfèrica; i ha la il•lusió dels cubs de Necker, de la que després parlarem; i hi ha un mòdul preparat per deixar-hi el telèfon mòbil gravant un video, en el que, un cop gravat, es veurà el propietari sortint de la paret d’un cub impossible.

D’Escher m’agrada la imaginació en fer les seves simetries que s’interpenetren, com la reproduida aquí; o aquelles en les que d’un triangle central en surten un peix, una granota i un ocell, com si fos una al•legoria de l’evolució. O alguns gravats en què una torre del joc d’escacs va canviant fins formar part d’una torre del port d’una ciutat marítima mediterrània. O la seva pintura denominada Metamorfosi, comentada després, que al museu hi és en dues versions: l’original, i com a una banda pintada tancada sobre ella mateixa, com a cilindre, sense començament ni final.

Les figures amb escales que pugen i baixen alhora són sensacionals. A la pel•lícula “El nom de la rosa” de Jean-Jacques Arnaud basada en la novel•la d’Umberto Eco, totes les seqüències de la biblioteca –que al seu torn està inspirada en La biblioteca de Babel, de Borges– segueixen l’estètica de les escales d’Escher.

L’ús creatiu de la perspectiva en molts gravats enganya totalment, perquè cada tros de figura és en ell mateix coherent, però la juxtaposició amb altres dóna una figura impossible, com en el quadre Relativitat. El cub de Necker és una il•lusió òptica present en molts museus de ciència, i Escher l’ha usat en alguns dels seus dibuixos més famosos: Belvedere i La cascada. Al peu del Belvedere hi ha precisament una figura jugant amb el cub de Necker.

La cascada és potser el quadre d’Escher que em crida més l’atenció: tenim davant nostre una violació del Primer i del Segon Principis de la Termodinàmica: surt energia del no-res, i l’aigua espontàniament torna a dalt de tot del dispositiu, tot i que aparentment sempre baixa…. És un exemple paradigmàtic de sistema en moviment continu, que no existeixen a la naturalesa, i tan buscats pels aficionats científics amb poca formació. Em solen abordar en acabar una conferència, i els has de desenganyar amb tacte. Tinc alguns dissenys de les seves invencions a casa, però prefereixo no comentar-los.

Jo penso que Escher és en dibuix com les Alícies de Carroll en el text. Les frases de les Alícies han estat mil vegades citades com a preàmbul o com a final de llibres i articles científics. Els dibuixos d’Escher , al seu torn, han il•lustrat tota mena de publicacions també científiques, al marge del seu ús com a material per a l’aprenentatge de la geometria. Jo mateix, ja fa més de quaranta anys, vaig usar la Cascada en un text dirigit a adolescents -branca Truc- de l’escoltisme de ME-GSJ, en una publicació que es va dir Laberint i que començava amb el fals laberint de la catedral de Chartres.

L’ús més creatiu que he vist relacionat amb Escher ha estat la portada de la tesi de Núria Jiménez Garcia, llegida el 2009 al departament de Microbiologia de la Facultat de Biologia de la UB. Va agafar un tros del quadre La Metamorfosi i, en el moment en que unes abelles van i venen d’un rusc amb formes hexagonals, es converteixen aquests hexàgons del rusc en anells benzènics, formant molècules complexes aromàtiques típiques dels fuels pesats i dels derivats carbonosos. I és que la tesi de Núria Jiménez era Biodegradació i bioremediació del fuel del Prestige.

EL DIA DE PI

>Ahir va ser el 14 de març, la data de naixement d’Albert Einstein. Podria ser la data de celebració del Dia de la Ciència, però la UNESCO va triar el 10 de novembre com al Dia de la Ciència per a la Pau i el Desenvolupament. L’Índia ho celebra el 28 de febrer, data en que l’hindú Chandrasekhara Raman descobrí el seu efecte, el 28-2-1928, descobriment que li valgué el premi Nobel de Física de 1930. El patró catòlic dels científics és Sant Tomàs d’Aquino, i abans era festa a les universitats, i fins i tot recordo que feien un programa de cine especial al matí al cine Pelai.

Als Estats Units escriuen les dates posant el mes davant del dia. O sigui que ahir era 3.14. I, per tant, celebren el Dia de Pi, y, complementàriament, la data de naixement d’Einstein. No confonguem el Pi del Dia de Pi amb el Pi de Vida de Pi, una novel·la molt rara de Yann Martel que Ang Lee va portar al cine recentment. Aquest és un altre Pi, un hindú de nom Piscine Molitor Patel, “Pi”. Més racional que l’altre Pi, paradigma de la irracionalitat.

A l’Exploratorium de San Francisco, ciutat en la que passo uns dies, des de fa vint anys que celebren el Dia de Pi, juntament amb l’aniversari d’Einstein. Fan alguns parlaments, una processó laica en la que cada participant porta un bastó amb un plat de plàstic i un número corresponent al número de la seqüència del número pi que li toqui; fan algunes demostracions divulgatives del número pi; canten la cançó de Pi i reparteixen un pastís – un pie- entre els assistents. A més, al llarg de l’Exploratorium hi ha activitats centrades en el número pi, samarretes alusives, i un llibre.

Hem anat a celebrar el Dia de Pi. Però feia un important xàfec, i han hagut de modificar considerablement el programa. Hem arribat tard, i els absorbents néts no ens han permès una activitat tancada havent-hi botons i palanques a fora…

Vegeu-ne més informació a la web de l’Exploratorium: http://www.exploratorium.edu/pi/.

REGLE DE CÀLCUL

Un lector comenta un dels posts anteriors i em prega que faci algun article dedicat al regle de càlcul. Això es una comanda enverinada, perquè es pot convertir fàcilment en una de les batalletes de l’avi que explica la vida als néts. Però, en fi, enfrontem el repte, a veure si es pot dir alguna cosa que no sigui nostàlgica.

Un regle de càlcul és un utensili per calcular de l’era analògica, que en bona part va acabar-se cap als anys 80 del segle XX, la dels instruments amb agulles i busques. Per cert, he escrit segle XX amb nombres romans, com és tradició, però d’aquí a quatre dies ja no es faran servir, i s’haurà d’escriure segle 20 o segle 20è. Molts congressos que van començar indicant quina edició era amb nombres romans, s’han passat als nombres aràbigs. Penso, per exemple, que a finals de març aniré a les 42ènes Jornades del CED, i que vaig anar també a les XXXIXenes, les 40enes i les 41enes.

L’era analògica de càlcul va conviure amb l’era digital, no només perquè durant tot canvi coexisteix un temps la tecnologia antiga amb la nova, sinó perquè hi havia tecnologia digital molt antiga, però no era electrònica sinó elèctrica, i, abans, mecànica. Penso, com exemple darrer, en la màquina Minerva, un utensili mecànic amb rodes i palanques que es va fer molt habitual a les oficines per fer sumes, restes i multiplicacions, i que anava realment bé i ràpid. I era digital, és a dir que calculava números amb valors discrets, d’un en un, sense interpolar ni estimar valors. Se’n van fabricar unes 70000 des de 1946 a 1969, en que l’empresa fabricant – Fábrica de Artículos Mecánicos de Oficina SA, del barri de les Corts, de Barcelona -va tancar. Aquesta màquina de càlcul era la que usaven al departament de Química Analítica de la facultat de Química als anys 60 per comprovar els resultats dels càlculs fets pels estudiants en l’examen pràctic de les assignatures. En dono fe.

Una Minerva

En el fons una minerva era, en sofisticat, com un àbac dels que a la Xina i a altres països encara s’usen a les botigues. Anells amunt i avall, i es llegeix el resultat comptant quants anells hi ha al final a cada columna. Com més gran és l’àbac, més xifres significatives es poden calcular. Les caixes registradores manuals o elèctriques de les botigues eren calculadores digitals mecàniques, amb tantes xifres significatives com es vulgui, depenent del nombre de caselles que es desitgi que apareguin a la pantalla -mecànica- de la màquina.

Balança amb escala de càlcul

I, simultàniament a aquests enginyosos instruments, hi havia diversos procediments analògics quotidians. A les botigues de queviures hi havia bàscules amb una agulla que es desplaçava a dreta o esquerra segons el pes, que s’interpolava d’una escala visible per al client i per al botiguer. I des de la banda del botiguer hi havia, a vegades, unes escales graduades en preus (1 Pta/kg, 2, 3, 4, 5, …) per on passava també l’agulla. I allà on es quedava es podia llegir el preu del producte. I si un preu era fraccionari, per exemple 1,80 Pta/kg, s’havia de llegir a l’escala de l’1 i sumar-li el valor que marqués l’agulla en l’escala del 8, però dividit per 10. En aquest instrument el nombre de xifres significatives de la lectura venia donat per la mida de l’escala de lectura, i pel grau de finor de l’agulla que hi passava per sobre. Vegeu a la foto una balança Mobba, feta a Badalona.

A la indústria i la tecnologia s’han usat i s’usen els nònius o peus de rei, que són instruments analògics. Mitjançant un enginyós sistema d’interpolació visual, es poden fer mesures de longituds amb una precisió de dècimes de milímetre.

Peu de rei. L'all fa 24,95 mm

El regle de càlcul és, en essència, un parell de barretes numerades sòlides paral•leles que es desplacen l’una a sobre l’altra. Les dues barres tenen divisions iguals. En un instrument tan simple, si es vol sumar 2+3, es posa el 0 de la barra superior sobre el 2 de la barra inferior. I, llavors, el 3 de la barra superior estarà posat sobre el 5 de la barra inferior: 2+3=5. És fàcil d’imaginar.

Doncs, en un regle de càlcul comercial, el funcionament és igual, només que en lloc de números posats equidistants, els valors indicats són els logaritmes dels números que hi apareixen. I, per tant, en sumar logaritmes dels números, els resultats que s’obtenen són l’equivalent a les multiplicacions dels números. Si no coneixes, lector, el que són els logaritmes, és inútil que t’ho expliqui aquí en tres ratlles.

John Napier va inventar els logaritmes el 1614, i cap als anys 1620-30 ja s’inventava el primer regle de càlcul basat en logaritmes. Se’n van dissenyar de tot tipus i materials al llarg dels anys. El 1872 es va fundar l’empresa Aristo, alemanya, que va desenvolupar la tecnologia dels regles de càlcul fins que va tancar, el 1978. Va inventar, per exemple, el sistema Aristo-Rietz d’escales múltiples, que permetien fer tot tipus de càlculs pel fet de tenir escales graduades no només amb els logatitmes, sino amb diverses funcions algèbriques i trigonomètriques. L’invent d’un cursor mòbil va permetre realitzar els càlculs amb gran rapidesa i amb una precisió suficient. Els darrers regles eren d’un PVC especial denominat Astrolon, i el cursor de plexiglàs. Se’n havien fet també de caoba, fusta molt noble i indeformable.

Multiplicació d'1,80 per 1,44, que dóna 2,592

No van poder sobreviure a l’aparició de les calculadores electròniques, tot i que en alguns regles de càlcul hi van instal•lar, a la superfície, una calculadora elemental per fer les operacions més elementals: les complicades, com les funcions trigonomètriques, les feia el regle de càlcul perquè les calculadores encara no en sabien.

Els regles de càlcul estan actualment en mans de col•leccionistes i de museus de ciència. Un parell d’adreces: http://www.sliderulemuseum.com/ i http://www.oughtred.org/

A l’MIT segueixen fent-ne classes –optatives- pel seu valor educatiu. I als USA hi ha concursos de resolució de problemes amb regle de càlcul, que per cert darrerament sempre guanya el mateix concursant…
El meu primer regle de càlcul, que vaig perdre, el vaig comprar el 1968. El feia servir per a fer problemes de les assignatures de química. Però als exàmens de l’assignatura de Termodinàmica ens demanaven més precisió -4 decimals- que el que permetia el regle de càlcul, que en donava tres. El que jo feia era fer els problemes amb regle de càlcul, i un cop veia que em sortien, repetia el càlcul amb la taula de logaritmes.

A la foto hi ha el meu segon regle de càlcul, comprat l’any del centenari de la casa Aristo: el 1972. És un Aristo-Rietz nº 99, que va ser substituida amb tots els honors quan em vaig comprar una calculadora científica Hewlett Packard HP-67.

Tinc un altre regle de càlcul, fet per la competència de la casa Aristo: la Faber Castell, també alemanya. És un regle especialitzat que no he fet servir mai, més petit, i especialitzat en fer càlculs per a anàlisis químiques. Me’l van regalar, quan ja era obsolet, en comprar un llibre tècnic a Munic.

Regle per a càlculs químics

I també havia usat a les classes un tercer regle de càlcul, que no era meu: era penjat d’una aula d’un centre universitari del que no diré el nom –no era de la UB- on vaig fer dos anys de classes, suplint un professor. No em van declarar mai, perquè era una situació il•legal per totes tres bandes: el centre, el professor substituit, i el professor substitut, que era jo. Era en temps de Franco, i la il•legalitat ja deu haver prescrit, espero. Si un dia faig les meves memòries, potser ho explicaré. O potser no.

Ha sortit un article nostàlgic, ho sento…

IMAGINARIS

Agustí R. envia un comentari al post “L’home sense atributs. Digital i analògic” on fa una referència a Robert Musil i els nombres imaginaris. Anem-hi. Lector, seu.

Robert Musil, al seu llibre “Les tribulacions del jove Törless” (1906), inspirat en experiències personals, dedica un capítol a discutir el concepte de nombres imaginaris. Dos estudiants de l’acadèmia militar confronten les dues visions habituals davant de les coses inabastables a primera vista, la de tocar de peus a terra “si un concepte no té sentit no té sentit treballar-hi“, i la de “i per què no podem treballar amb un concepte encara que no tingui cap referent en el món real?”. El professor no els ajuda: el seu argument és que “s’hauria d’acontentar amb el fet que tals conceptes matemàtics no són precisament altra cosa que això: idees de naturalesa purament matemàtica. (…) Estimat amic, t’has de limitar a creure; quan sàpigues deu vegades més matemàtiques que no saps ara, llavors comprendras; però mentrestant: ¡creure!”.

Quant és l’arrel quadrada de -1? La resposta inmediata és que no existeix: no hi ha cap nombre que, en multiplicar-lo per ell mateix, doni un nombre negatiu. Però bé, volem dir que no hi ha cap nombre d’entre els nombres habituals que faci això, d’entre els nombres que escrivim amb guarismes. Si ens inventem un hipotètic valor i de tal manera que i x i = -1, ja està: l’arrel quadrada de -1 es diu i. Llavors, qualsevol nombre imaginari pur és, per definició, el producte d’un nombre real per la unitat imaginària: 4i, per exemple. I els podem sumar, restar, multiplicar… Però amb cura: si multipliquem 2i per 3i el resultat és -6…

Els nombres complexos -també denominats imaginaris- són els que tenen una part real i una altra imaginària pura. Per exemple 2 + 3i és un nombre complex. Aquest gènere de nombres els va inventar Raffaelle Bombelli, un matemàtic i enginyer italià el 1572. El nom de nombres imaginaris sembla que el va donar René Descartes, que s’oposava a les teories de Bombelli. I Leonhard Euler va ser qui va denominar i a la unitat imaginària, dos-cents anys després, el 1777. Leibniz deia dels nombres imaginaris eren “una espècie d’amfibi entre l’ésser i el no res“.

A la figura hi ha una equació denominada identitat d’Euler, que reuneix cinc nombres essencials a la matemàtica: 0, 1, e, i i pi (el 3,14…, que no em deixa escriure l’editor d’aquest blog). Els matemàtics leviten amb l’equació, en fan samarretes, corbates, se la tatuen… Com els químics fan amb la taula periòdica. No, no l’explicaré.

Equació que reuneix cinc nombres essencials en la matemàtica

Tot el tema dels nombres imaginaris i complexos es un dels conceptes sense relació amb la percepció habitual, perquè no en trobem referents al món real. Com l’entropia, com la física quàntica, com el potencial químic… Altres conceptes matemàtics també fan ballar el cap, si pretens entendre’ls. Els nombres transfinits, per exemple, que són els que van “més enllà d’infinit“. Si infinit ja és infinit, quin sentit té infinit al quadrat? És igual d’infinit (en llenguatge quotidià) però “més infinit” en llenguatge matemàtic. Cantor, l’inventor dels nombres transfinits o infinits, postulava l’existència d’un infinit absolut, que en certa manera identificava amb Déu.

Oi que et perds? És perquè pretens visualitzar-ho. Pretens entendre-ho, i hi ha conceptes que no es poden entendre.

Existeixen els nombres imaginaris? Existeix aquesta i?

Què vol dir que un nombre existeix? Ens és fàcil visualitzar alguns nombres: els nombres naturals 1, 2, 3, 4 els podem imaginar posats sobre una recta.Els altres nombres sencers -1, -2, -3 els podem posar a l’altre costat d’un punt arbitrari zero de la recta anterior. Els fraccionaris. junt amb els enters són tots els racionals. Els nombres racionals exactes com 3/4 o 0,75, i els periòdics com 10/3= 3,3333… , els interpolem entre dos nombres sencers: això ens ho podem imaginar fàcilment. Costa més imaginar que entre cadascun dels nombres racionals possibles –que són infinits- hi podem posar també un nombre infinit de nombres irracionals, és a dir, nombres amb una cadena infinita de decimals sense que hi hagi un grup de xifres que es repeteixi indefinidament, com pi o arrel quadrada de 2. Però creiem que ens ho podem arribar a imaginar, perquè ens imaginem una recta que anem tallant cada cop amb ganivets més fins. Evidentment que aquesta recta –la que els matemàtics en diuen la recta real– no en té res, de real: no existeix, i és una pura abstracció matemàtica feta anàloga a la veritable recta que podem dibuixar amb paper i llàpis, que no és infinita per cap costat, que té un gruix, i constituida per una seqüència de partícules de grafit posades sobre un tramat de fibres de cel•lulosa. La recta real dels matemàtics és el model imaginat d’una recta obtinguda com a extrapolació ideal del concepte de recta física. L’existència de tots els nombres citats és en el món matemàtic, que té una correlació fàcil amb el món de la recta real matemàtica, que té una correlació fàcil amb les rectes que dibuixem.

On anem, amb tot això? A dues conclusions que altres vegades ja hem comentat. La primera, no cal intentar comprendre el que no és comprensible, perquè la nostra comprensió descansa en la aprehensió dels sentits, i aquests conceptes no aprehensibles no poden ser reduits a experiència. La segona, que no es comprenguin no vol dir que no es puguin manipular, operar-hi, resoldre models matemàtics amb conceptes no comprensibles, i dissenyar objectes o processos reals amb conceptes aparentment tan poc reals. El corrent altern, per exemple.

L’aigua magatzemada a un embassament passa a través d’una turbina. Un alternador que gira amb la turbina produeix electricitat que arriba a casa. Això són fets reals. Per dissenyar un alternador -que fa corrent altern- cal que en fem una modelització matemàtica, modelització que redueix la realitat a models més o menys simplificats, i per tant no reals. Aquests models es resolen mitjançant la matemàtica complexa, que en cert sentit és també no real. Però els resultats del càlcul de models irreals amb matemàtiques imaginàries permet dissenyar aparells reals, que realment porten electricitat a casa.

Si visiteu una central elèctrica o una instal•lació industrial que usi electricitat, coexistint amb els sistemes de mesura i control que indiquen volts, ampers i vats –variables força quotidianes-, hi trobareu alguns aparells que mesuren una misteriosa variable matemàtico-física: el cosinus de fi (lletra grega que tampoc puc escriure). Es diuen cosímetres, cosinofímetres, cofímetres o fasímetres. Ens costa d’imaginar què és aquest cosinus de fi. Però els tècnics saben que ha de marcar un valor proper a la unitat, perquè si no es perden diners. Una variable molt abstracta té una repercussió molt concreta.

És una de les vegades en que la matemàtica dels models físics treu el nas al món de les realitats. Però no explicaré què és el cosinus de fi: primer hauria d’entendre-ho jo, i hem quedat que hi ha conceptes que no es poden entendre…

Cosímetre, cosinofímetre, cofímetre o fasímetre per mesurar el cosinus de fi, i quant corrent s'està perdent en el sistema

ESCHER 3D

Hi ha actes aparentment absurds. L’estiu del 1956 Camilo José Cela, Josep Mª Espinàs, Felipe Luján i José Luís Barós van fer una excursió a peu pel Pirineu de Lleida, i al cap del temps els dos primers en van fer un llibre cadascun: “Viaje al Pirineo de Lérida“, editat l’any 1963, i “Viatge al Pirineu de Lleida“, el 1957. Com a curiositat, de l’obra de Cela, en castellà, en Josep Mª Llompart en va publicar la traducció al català el 1969. El mateix traductor deia, al pròleg, que si hi havia una tasca absurda era traduir al català una obra com aquella, plena de l’estil del seu autor, i gairebé inimitable en traduir-la. Però el resultat estava bé.

Jo pensava en aquest absurd quan els Reis em van portar un llibre de grans dimensions: “M.C.Escher. Desplegando a Escher“. És un llibre dels denominats pop-up, desplegables, on hi ha unes quantes obres del conegut artista holandès, treballades amb la tècnica del desplegable. En obrir cada pàgina, surt en tres dimensions una figura d’Escher.

Escher és un pintor en dues dimensions. De les seves obres se’n han fet reproduccions, calendaris, agendes, suports de mouse d’ordinador, fons de pantalles, el que vulgueu… Sempre figures planes. La gràcia de les seves obres és la distorsió de la perspectiva, la continuitat de situacions que s’interpenetren, les figures impossibles… sempre en el pla. I ara, va Courtney Watson McCarthy i en fa un desplegable. Per casa hi ha desplegables del Petit Príncep, diverses Alícies, uns quaderns d’art o de matemàtiques desplegables… Però Escher… Caldre, no calia.

Els llibres desplegables són extraordinàriament sofisticats i d’elaboració dificultosa. Precisament els Reis, aparentment sense haver-s’ho comunicat els uns als altres, van portar també per a la família un llibre per aprendre a fer estructures desplegables: “Los elementos del Pop-up“, de l’editorial Combel. És una tasca delicada i complexa.

El resultat del llibre d’Escher és atractiu. La força original dels dibuixos i pintures originals aquí s’exalta, i és interessant la solució tècnica que s’ha trobat, més o menys reeixida, en cada una de les figures. Aquí en reprodueixo quatre pàgines, que en les meves fotos no donen una sensació de volum gaire intensa: una obra en 2D ha passat a 3D i ara novament a 2D… Especialment difícil és la darrera que poso aquí, “Cascada“, on hi ha en el dibuix pla tres triangles de Penrose . En l’espai la solució és difícil i no del tot reeixida.

L’obra “Cascada” és una bona il•lustració de l’impossible moviment continu i de la violació del Primer Principi de la termodinàmica. Energèticament el disseny és impossible perquè aniriem obtenint energia de la cascada sense que se li subministrés energia a l’aigua per pujar a dalt, però la il•lusió òptica fa imaginar que l’aigua sempre baixa. Seria possible la cascada inexhaurible en un món en 4D sense violar cap llei física?

Escher: Rèptils 3D, 1943

Escher: Balcó 3D, 1945

Escher: Llaç d'unió 3D, 1956

Escher: Cascada 3D, 1961