CUESTIONES -NO TAN TRIVIALES- DEL DESCONFINAMIENTO . 20 (3-6-20)

Cuestión 29

El lector recordará los teléfonos fijos de sobremesa o de pared. ¿Por qué el cable de los teléfonos fijos quedaba siempre enredado?

 

Cable de teléfono fijo, en tres estados progresivamente enredados

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 RESPUESTAS  A CUESTIONES.19  (2-6-20)

 Cuestión 28

¿Cómo se pueden celebrar dos veces el mismo día los festejos de Año Nuevo?

 Respuesta 28

Cambiando de ciudad de celebración, siempre que se atraviese la línea de cambio de fecha.

Sydney está  en UTC-8, es decir, ocho husos horarios a la derecha (Este) del meridiano de Greenwich. Y Honolulu (Hawaii) en UTC+13, o sea 13 husos a la izquierda (Oeste). UTC significa Universal Time Coordinated,el antiguo meridiano de Greenwich. De una a otra ciudad hay 21 husos de diferencia siguiendo el Sol, pero “solo” 8100 km y 3 husos atravesando la Línea Internacional de Cambio de Fecha (International Date Line, IDL, línea de puntos del mapa adjunto). Por cierto que esta línea es, como puede verse, muy sinuosa en el centro del Pacífico, por motivaciones políticas y económicas (consultar  la referencia indicada en Más información). Las diferencias horarias entre las ciudades cambian en 1 hora porque en Honolulu hay hora de verano y en Sydney no.

 

En 2017 la compañía PrivateFly propuso el siguiente viaje (horas locales)

31/12/17   23:59       Sydney      Festejos de Año Nuevo 1

1/1/18       00:00       Sydney      Año Nuevo en Sydney

1/1/18       02:00am   Sydney      Vuelo Sydney-Honolulu (9h40min)

Sobre el Pacífico: cruce de la Línea Internacional de Cambio de Fecha.  Se pasa de 1/1 a 31/12

31/12/17     3:40pm    Llegada a Honolulu. Tiempo libre

31/12/17     23:59       Honolulu     Festejos de Año Nuevo 2

1/1/18         00:00       Honolulu     Año Nuevo en Honolulu

Trece personas -la capacidad de pasajeros del avión- pudieron hacer este itinerario, y les costó aproximadamente 22000 $ por persona. Pero a bordo les daban champán francés….

Más información: https://blogdebanderas.com/2012/08/27/curiosidades-del-meridiano-180-y-la-linea-internacional-del-cambio-de-fecha/

Vol Sydney-Honolulu, cruzando la línea de cambio de fecha

CUESTIONES -NO TAN TRIVIALES- DEL DESCONFINAMIENTO . 14 (27-5-20)

Cuestión 23

Sugerir en qué unidades se miden, y a qué equivalen en unidades del Sistema Internacional, los siguientes conceptos cotidianos:

a) densidad del tráfico

b) densidad de población

c) grados alcohólicos

d) fuerza del viento

e) altura de una nota musical

f) intensidad del tráfico

g) volumen de tráfico

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 RESPUESTAS A CUESTIONES.13  (26-5-20)

 Cuestión 21

 Lewis Carroll inventó, en la Navidad de 1877, juegos de palabras en los que proponía pasar de una palabra a otra cambiando sólo una letra en cada etapa, y manteniendo todas las palabras intermedias con sentido. Se denominaron Word Ladders o escaleras de palabras. Por ejemplo pasar de frio a calor en inglés: COLD → CO R D → C A RD → W ARD → WAR M. En muchos aspectos de la ciencia, de la lengua, de la vida, se dan situaciones que evolucionan lentamente. En estos casos la descripción matemática de la situación debe abordarse con las técnicas de la lógica difusa https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_difusa .

La cuestión:

Aplicar la técnica de los Word Ladders y la lógica difusa a

1. a) alguna gama de productos alimentarios que tenga diversos productos intermedios entre dos productos A y B antes totalmente distintos. Por ejemplo, de agua sin gas a zumo de fruta con gas.
2. b) las fases de desconfinamiento, que habían de ser 0, 1, 2 y 3 y van apareciendo fases intermedias: 0,5, fronteras difusas, etc.

Respuesta 21

a) De agua sin gas a zumo de fruta con gas hay, al menos, las siguientes etapas:

• agua sin gas
• agua con gas
• agua con gas, sabor de fruta y edulcorantes (refresco con sabor a fruta)
• agua con gas y zumo de fruta
• néctar de fruta (zumo y agua con gas)
• zumo de fruta con gas

Otros productos que permiten una graduación similar: yogur natural, yogur natural edulcorado, yogur con sabores edulcorado, yogur con trocitos edulcorado, yogur suplementado edulcorado (Densia), Densia batido edulcorado,

Chocolate negro total 99%, chocolate negro parcial 85%, 70%, cobertura de chocolate 55%, chocolate a la piedra 40%, chocolate blanco sin cacao, sólo con manteca de cacao

 

b) Las fases del desconfinamiento habían de ser: fase 0 (preparación), , fase 1 o inicial, fase 2 o intermedia y fase 3 o avanzada. La psicología de masas y razones políticas han llevado a pedir -y conseguir- modificar estas fases, difuminando las iniciales normas así como las fronteras de las zonas de aplicación. Por ejemplo, en Cataluña se han inventado una fase 0 avanzada (o fase 0,5), en que se debía mantener la normativa de la fase 0 pero también se toleraban conductas de la fase 1. Existen también los problemas de pueblos limítrofes entre dos zonas, y comarcas partidas porque los pueblos pertenecen a dos provincias o regiones sanitarias distintas, por ejemplo la Cerdanya, que pertenece a dos estados, dos provincias y dos zonas sanitarias distintas.

Con los días las normas inflexibles se irán flexibilizando y se irán pasando paulatinamente de unas situaciones a otras. Inventar la fase 0,5 da pie a pensar que se puede crear la fase 0,6, o la fase 1,2: hemos pasado de la fase de números enteros a a fase de decimales. ¿Y por qué no inventar las fases de números racionales?. Es un avance…

Esta situación es habitual en las normas jurídicas. En el campo del medio ambiente, la ciencia puede dar datos sobre los efectos de una determinada contaminación sobre las personas, los objetos y el medio: son datos con valores en continuo, porque normalmente no hay grandes saltos en los valores. Pero es el mundo jurídico y el político los que deben transformar estos datos en normas jurídicas, en forma de leyes y normas, y entonces normalmente se convierten los datos continuos en normativas discretas: hasta 250 mg/m3 autorizado, valores superiores prohibidos, y normas parecidas.  En los límites todo es ciertamente arbitrario, si no hay flexibilidad en la interpretación, para lo cual los jueces deberían estar preparados.

En ciencias de superficie y de coloides, que está entre la física y la química, es habitual distinguir entre la superficie matemática de separación entre dos fases nítidas (líquido y gas, por ejemplo), que sería la interfaz o intercara (en inglés interface) y una zona de espesor finito, que es una fase real de materia con propiedades que van de las de una fase a la otra, y que es la interfase o fase intermedia (en inglés interphase). En la figura se representa la variación de densidad de líquido a gas. La interfase estaría constituida por moléculas más apretadas (líquido) o menos (gas), de izquierda a derecha. Eso es la interfase.  La intercara se suele ubicar de tal manera que el área de la zona entre la curva de puntos y las rectas sea igual por encima que por debajo (lo cual no se cumple en la figura adjunta,por cierto).En este sentido, en el confinamiento de Cataluña-Barcelona una fase 0,5 está realmente entre 0 y 1, con propiedades -y posibilidades de acción- que evolucionan de una a otra. Esta nomenclatura no está aceptada por todos los autores, y pueden verse también interfacies y otras variantes.

Fuente: propia

Interfase e intercara. En rojo, la variación continua de densidad.

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Cuestión 22

Calcular  lim(canelón_R)_{R—> ꝏ}

Respuesta 22

lim(canelón_R)_{R—> ꝏ}   = Lámina de lasaña con su relleno en uno de sus lados

Es una broma matemática…

Fuente: propia

CUESTIONES -NO TAN TRIVIALES- DEL DESCONFINAMIENTO . 12 (25-5-20)

Cuestión 20

Contra la creencia de muchos niños y algunos mayores, la Luna sale también de día, en cualquiera de sus fases. Y cuando es luna llena, puede que se dé un eclipse de Sol.  En todo caso, se ve la porción de disco lunar blanco. Pero el resto de disco no se ve, sino el cielo azul. ¿Por qué no se ve? ¿No debería verse el trozo de disco lunar negro? ¿Por qué se ve la Luna blanca y azul?

 

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 RESPUESTAS A CUESTIONES.11  (23-5-20)

 Cuestión 19

El 26 de julio de 1998, a las 15h 43 m, un reloj digital que además de dar la hora y los minutos, también indica la fecha (día, mes y año), indicaba lo siguiente: 15:43 26 07 98. En aquel momento el reloj usaba todas las cifras sin repetir ninguna.

¿Cuándo será la primera vez que vuelva a darse esta situación, a partir de ahora?

Respuesta 19

Me ha salido las 19:58 del 27-06-34.

Si tienes media -o una- hora libre puedes probar a resolverlo.

El formato del número será  HH:MM DD-MM-AA, que escrito sin ambigüedad es h1 h2 min1 min2 d1 d2 mes1 mes2 a1 a2.

Las restricciones de entrada son:

• h1 puede valer 0, 1 y 2 (siempre que h2 sea 0, 1, 3, 4)
• h2 cualquiera entre 0 y 9
• min1 entre 0 y 5
• min2 cualquiera
• d1 los valores 0, 1, 2, 3 (siempre que d2 sea 0 o 1, compatible con el valor del mes)
• d2 cualquiera
• mes1 0, 1 (con mes2 0, 2)
• a1  de 2 (estamos en 2020) a 9
• a2 cualquiera

Se busca el valor mínimo de la fecha. Explico mi procedimiento, por prueba y error condicionado, (no detallado del todo, pero el lector interesado puede seguir todo el razonamiento)

a) No es posible año 20 porque entonces el mes debería ser 12: hemos gastado ya el 0.  Pero tampoco sería válido por haber usado ya el 2

b) No es posible año 21 porque llevaría al día 34, no válido: el día no puede ser 0x, ni 1x, ni 2x. Sólo puede ser 3x, pero no 30 ni 31. Ni 32 ni 33…

c) No es posible año 23 ni ningún otro año de la década de los 20 por razones parecidas que el lector puede atisbar facilmente.

d) No es posible años 30, 31, 32 por limitaciones de fecha de las horas, días y meses. El primer año posible es el 34, y trabajaremos con ese

e) Ajustemos a continuación por prueba y error el valor del mes, dejando para el final los minutos, día del mes y mes, que son ajustables con las cifras que queden. Probando con el mes 0x, después de unos cuantos ensayos se llega a la conclusión de que el primer mes válido es el 06 (porque 0, 1, 2, 3, 4 y 5 estarán ya gastados), y a partir de ahí se ajusta todo lo demás.

Uff, qué feo es este procedimiento, tan poco algorítmico. Parece como resolver un puzzle de 1000 piezas sin disponer de la imagen final (que es lo que hemos logrado hacer en pareja estos días, por cierto).

Es posible que haya otras estrategias de resolución. Incluso es posible que me haya equivocado y haya alguna solución mejor.

 Fuente: Miquel Duran lo sacó de la web de su Universitat de Girona. No sé encontrar ahí la solución, si es que está.

CUESTIONES -NO TAN TRIVIALES- DEL DESCONFINAMIENTO . 10 (22-5-20)

Cuestión 17

¿Qué pasa con la temperatura si en una habitación cerrada se abre la puerta del frigorífico conectado a la corriente? ¿Se calienta o se enfría?

 

Cuestión 18

Una sustancia, ¿puede estar “algo” congelada?

 

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 RESPUESTAS A CUESTIONES. 9  (21-5-20)

 Cuestión 15.

¿Quiénes han vivido en la actualidad dos años capicúas? ¿Quiénes de los nacidos en este siglo vivirán en dos años capicúas?

Respuesta 15

Los nacidos en 1991 o antes y actualmente vivos. De los nacidos en el siglo XXI, muy pocos.

Muchos de los lectores habrán tenido la suerte de haber vivido dos años capicúas. Efectivamente, en todo el siglo XX sólo ha habido uno, el 1991. Y en todo el siglo XXI solo habrá otro, el 2002, ya vivido.  Basta con haber nacido en 1991 o antes, y no haber muerto antes de 2002. Eso nos pasa a muchos de los lectores. Qué emoción.

En cambio, para los nacidos en el siglo XXI antes o durante 2002, no volverá a haber otro año capicúa hasta el 2112. Por tanto, solo los que alcancen a vivir 110 o 111 años podrán vivir dos capicúas. Y si las expectativas de algunos científico-prospectivos se cumplen, podría llegarse a dar el caso de alguien que viviera tres años capicúas. Sería alguien nacido el 1991 que llegara a 2112, con 121 años.  No es imposible: en 1997 falleció en Francia Jeanne Calmert, a 122 años y 164 días (edad certificada oficialmente). Y la longevidad aumenta con el tiempo, al menos hasta ahora.

Fuente: propia. Datos de https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Las_100_personas_m%C3%A1s_ancianas_de_todos_los_tiempos

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Cuestión 16

Los nudos son una medida de la velocidad de una embarcación.  ¿Qué miden los nudos por hora? ¿Y los nudos-hora?

 Respuesta 16

Los nudos por hora son una aceleración. Los nudos-hora son una distancia.

El nudo es una unidad de velocidad, sorprendente en el mundo cotidiano acostumbrado a hablar de velocidad en términos de kilómetros por hora o metros por segundo. Un nudo es una milla náutica por hora, equivalente a 1,852 km/h. Es práctica en el mundo náutico porque una milla es un minuto de arco de meridiano, y es entonces fácil trasladar la velocidad a trayectorias en los mapas.

El nombre de nudo proviene del procedimiento usado para su determinación, mediante el instrumento llamado corredera. Una cuerda o cordel con un flotador, que tenía nudos a intervalos regulares, se lanzaba al mar desde la embarcación. El tronco flotaba en el punto donde se había echado -imaginando que no se movía de allí- , y se iba desenrollando la cuerda a medida que la embarcación se iba alejando. Con un reloj de arena se medía cuántos nudos  se habían desenrollado en medio minuto. Naturalmente este procedimiento da la velocidad respecto a la velocidad del agua en el punto medido, pero si hay corrientes inopinadas, la distancia recorrida puede ser muy imprecisa.

Si un nudo es una velocidad, los nudos por hora son una aceleración: son el incremento de velocidad que se da en cada unidad de tiempo. En las unidades del Sistema Internacional, m/s² o (m/s)/s: es decir, en cuántos metros por segundo se incrementa la velocidad cada segundo.

Un nudo-hora es la distancia recorrida durante una hora por un cuerpo que viaja a un nudo de velocidad.

Aquí la nomenclatura no ayuda mucho: nudo por hora es “nudo dividido por hora”, mientras que la otra magnitud son nudos-hora, es decir, “nudos multiplicado por hora”. Es la confusión de siempre en física, en que muchos hablan de kilovatios por hora cuando realmente quieren expresar kilovatios-hora (kWh), que es una cantidad de trabajo.

Otra unidad de velocidad no oficial sin unidad de tiempo en su definición es el número Mach. Mach 1 es la velocidad del sonido, y Mach 2, 3, 4 el doble, triple, etc. Tiene este nombre en honor del físico austríaco Ernst Mach (1838-1916) La velocidad del sonido cambia con el medio. En el aire a nivel del mar es de 340 m/s, en el aire de un vuelo a 11000 m de altura es de 285 m/s, y en el vacío… en el vacío es 0.

Una corredera histórica, con su reloj de arena

CUESTIONES -NO TAN TRIVIALES- DEL DESCONFINAMIENTO . 7 (19-5-20)

Cuestión 11

Se dice que el Greco tenía un defecto visual que le hacía ver las figuras alargadas. Razonar por qué esa afirmación es ilógica.

 

Cuestión 12

Se ha de mantener una reunión presencial de tres personas de Madrid y cinco de Barcelona.  El coste del viaje es proporcional  a la distancia recorrida. ¿Cuál es el punto óptimo para hacer la reunión, si se trata de minimizar el coste del viaje?

 

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 RESPUESTAS A CUESTIONES. 6  (18-5-20)

 Cuestión 10.

Se sabe que una determinada enfermedad afecta el 5% de la población. La detección se realiza con una técnica que falla un 5% de los casos, dando falsos positivos o falsos negativos. El error no es un fallo del laboratorio que lo realiza sino de la técnica en sí. Una persona se somete a la prueba y le da positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad? ¿El 95%, entre 95 y 75, entre 75 y 50, menos del 50%?

 Respuesta 10

La respuesta, no intuitiva, es que en estas condiciones la probabilidad de tener la enfermedad es de un 50%.

 

Para no entrar en matemáticas, tomemos los datos:

Imaginemos una población de 10000 personas. La enfermedad a afecta un 5% (valor que sabemos de antemano, de otras poblaciones o de estudios previos): por tanto,  habrá 9500 no afectadas y 500 afectadas.

Si a los 9500 sanos se les hace la prueba, el 95%, o sea 9025, serán negativos reales y el resto 475 falsos positivos

Si a los 500 afectados le hacemos la prueba. 95% dará resultado positivo: habrá 475 positivos reales y el resto, 25, serán falsos negativos

Si  una persona se hace la prueba y el resultado da positivo (es decir, la prueba afirma que está afectado) puede ser o de los falsos positivos (475) o positivo real (475).  Por tanto la probabilidad de estar realmente enfermo (los positivos reales) es del 50%.

En cambio, si uno se hace la prueba y sale un resultado negativo, la probabilidad de que sea negativo real es de 100*9025/(9025+25)= 99,7%, y la probabilidad de que sea un falso negativo- esté realmente afectado-  es del 0,3%.

Cuanto menos falle la prueba, los valores anteriores se hacen tanto más precisos. Por ejemplo, si el porcentaje de error de la prueba es sólo del 1%, un resultado positivo a la enfermedad tiene un 84% de seguridad de que es positivo real,  y si da negativo, hay más de un 99,9% de que realmente es negativo real.

Más números: si la enfermedad afectara sólo el 1% de la población. y el test fallara un 5%, un diagnóstico positivo de la enfermedad  sería cierto también en un 83% de casos. Pero si hay un 1% de la población afectada, y la prueba falla sólo en un 1% de los casos, los resultados serían como en el primer caso: un diagnóstico positivo (que se daría en mucha menos población)  tiene un 50% de probabilidad de ser un falso positivo, pero hay un porcentaje de 0,01% de que un diagnosticado negativo tenga la enfermedad.

En toda esta discusión conviene no dejarse arrastrar por el lenguaje. Aquí un resultado “positivo” indica tener al enfermedad, que de positivo no tiene nada…

 

Fuente: Adaptado de Vos Savant, Marilyn. “El poder del pensamiento lógico” p. 136-137 Editorial EDAF (1998)

CUESTIONES -NO TAN TRIVIALES- DEL DESCONFINAMIENTO. 3 (14-5-20)

Cuestión 5

¿Por qué un espejo invierte de derecha a izquierda pero no de abajo arriba?

 

Cuestión 6

El hombre invisible es ciego. Indicar por qué.

 

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 RESPUESTAS A CUESTIONES.2 (13-5-20)

 Cuestión  3

Tengo una caja con 100 calcetines, 50 verdes y 50 rojos. ¿Cuántos calcetines tengo que tomar a oscuras para asegurar que tengo un par de calcetines iguales (rojo o verde, es igual)?  Tengo también una caja con 100 guantes, 50 de la mano derecha y 50 de la mano izquierda. ¿Cuántos guantes tengo que tomar a oscuras (sin hacer comprobaciones por el tacto) para asegurar que tengo un par de guantes completo? Si la respuesta es diferente de la pregunta anterior, habría que  justificar con precisión la diferencia.

Respuesta 3

Para encontrar un par de calcetines iguales basta con tomar tres, y es seguro que habrá dos -o tres- del mismo color.

Para encontrar un par de guantes, habrá que sacar 51, para asegurar que hay uno de cada mano: por improbable que parezca, podría darse el caso de que se seleccionaran 50 guantes de la misma mano, y uno solo de la otra mano.

En el caso de los calcetines, si se hubiera impuesto la condición de que se querían dos calcetines de un determinado color, habría que sacar entonces 52. 50 para el improbable caso de que se sacaran primero todos los del color no deseado, y dos más, el par deseado.

 

Fuente: variante propia de un problema popular.

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Cuestión  4

Se dice que la única obra humana que se ve desde el espacio es la Gran Muralla China. Criticar la afirmación.

Respuesta 4

Si se viera la Gran Muralla se vería la carretera que llega a ella, que es más ancha…

La Gran Muralla China tiene 7300 km de largo, entre construcciones y barreras naturales actuando de muralla. En su punto más ancho tiene unos cinco metros de anchura, con algunas construcciones auxiliares de más envergadura. Por tanto, no es en absoluto visible desde la Luna o desde el espacio, entendiendo por espacio una distancia más lejana que la estratosfera. Del mismo modo no se observan autopistas o carreteras.  La foto adjunta, tomada de GoogleMaps, muestra el punto de cruce de la muralla (de S a NE) con la carretera (de E a W) en el paso de Badaling, el más turístico y próximo a Beijing: carretera y muralla son poco distinguibles.  Desde un avión, que vuela a una altura de unos 10 km, sí se observa al principio el trazado. Luego no porque los aviones de Beijing a Europa cruzan Siberia y abandonan China pronto. La traza del transiberiano, al menos en invierno, se ve: doy fe.

La afirmación de que la Gran Muralla se ve desde el espacio proviene del libro de Richard Halliburton “Second Book of Marvels” de 1938, cuando nadie iba al espacio. Ningún astronauta -ni los astronautas chinos- han declarado haber  visto la muralla desde allí, en las órbitas normales.

Fuente: frase popular, crítica propia coincidente con otros.

Más información:  https://www.snopes.com/fact-check/great-wall-from-moon/

Paso de Badaling. Carretera de E a W. Muralla de S a NE.

A QUINA ANDANA ARRIBA PRIMER EL METRO?

Publicitat de Correos el setembre de 2017.

L’empresa Correos està fent una campanya publicitària de l’estil “patriòtico-emocional”. La campanya es diu “Algo muy nuestro” i va posant diversos exemples d’idees que el publicista imagina que la gent sent com a seves, i ho fa anàleg a Correos, empresa que la gent també sentiria com a seva. Al marge de l’estil de la campanya, que per a mi és tan insoportable com les de la ONCE o de la Loteria Nacional, voldria analitzar l’exemple primer que va posar als cartells.

“Creer que el metro siempre llega antes al andén de enfrente“. És una creença, això, o potser té alguna part de veritat? Aquest pensament és anàleg al de que quan ets a una embussada a l’autopista, els altres dos carrils van sempre més depressa que el teu. Evidentment aquest segon exemple és una falàcia, perquè un es troba a l’atzar en un carril o un altre, i probablement l’usuari només es fixa en la demora quan veu que els altres van més depressa, però no es fixa en que altres vegades ell anirà més depressa.

El problema del metro i les andanes es pot modelitzar matemàticament. Aquí en farem una aproximació elemental visual, que es pot anar seguint al dibuix i taula adjunts. Imaginem un extrem de línia, amb l’estació final i quatre estacions a la línia. Imaginem que hi ha un tren cada 10 minuts, que els trens s’esperen 2 minuts al final, paren 1 min a cada estació, i entre estació i estació tarden també 1 min. I ara imaginem passatgers que arriben a les estacions A, B, C i D, a les 10:00, les 10:01, les 10:02 i així successivament fins les 10:09.
El passatger que arriba a les 10:00 a l’estació A per anar cap a la dreta veurà un tren cap a la dreta a les 10:01, i l’agafarà. I ja no veurà que arriba un tren cap a l’esquerra a les 10:06, que sortirà de l’estació a les 10:07, arribarà al final a les 10:08 i sortirà cap a la dreta a les 10:10. El primer tren que ha vist va, doncs, cap a la dreta.

El passatger que arriba a l’estació A a les 10:01 agafarà el tren cap a la dreta a les 10:01, i ja no veurà tampoc el tren cap a l’esquerra de les 10:06. El primer tren que ha vist va també cap a la dreta. En canvi, si arriba a les 10:02, el primer tren que veurà serà el que va cap a l’esquerra a les 10:06, i no podrà agafar el seu tren cap a la dreta fins a les 10:01. El mateix els passa als passatgers que arriben a l’estació A a les 10:03, 10:04, 10:05 i 10:06, però als que arriben a les 10:07, 10:08 i 10:09 veuran el primer tren a passar cap a la dreta. En resum, la probabilitat de veure un tren cap a la dreta o cap a l’esquerra és, per a l’estació A, de 5 sobre 10. La hipòtesi de que sempre veus passar el tren de l’altra andana no es satisfà.

Què passa a l’estació B? El primer tren que va a la dreta passa a les 10:03, i el següent a les 10:13. El primer que va a l’esquerra arriba a les 10:04 i el següent a les 10:14. Els passatgers que arriben a l’estació entre 10:00 i 10:03, i entre 10:05 i 10:09 veuen primer el tren que va a la dreta, i només els passatgers que arriben a les 10:04 veuen que passa primer el de l’esquerra. La probabilitat, en aquesta estació, és de 9 a 1. La hipòtesi no es satisfà pels passatgers que volen viatjar en sentit contrari al final de línia, però sí per als que van cap a l’estació final.

Fes clic per ampliar el dibuix

A l’estació C veiem les freqüències a l’inrevés. De 10 passatgers que arriben al llarg dels minuts, set veuran primer el tren que va cap al final i només tres veuran primer el tren que va en sentit contrari. I exactament al revés pels passatgers de l’estació D.
Resumint, segons l’estació hi ha un comportament o un altre. La creença de que sempre passa primer el tren de l’andana contrària és, doncs, una creença que no és certa en termes generals, però sí que serà certa per a determinades estacions. Dependrà de la freqüència dels trens, de les distàncies entre estacions, de la durada de les parades a les estacions…

Per veure si aquesta conclusió és generalitzable, caldria fer la modelització matemàtica completa, suposant n estacions separades per distàncies d diferents entre elles, i freqüències de trens variables. Això ho deixo com a exercici per al lector…

SÓN QUATRE AMB ZERO CINC

En demanar el compte el cambrer em diu “Són quatre amb zero cinc“. Alguna cosa em grinyola, i començo a elucubrar. Per què ha dit quatre amb zero cinc i no simplement quatre amb cinc?

Potser si diu quatre amb cinc algú pensaria que és 4,5? No, perquè per dir que són quatre euros i mig diriem tots quatre amb cinquanta. Qui fes això estaria fent canvis d’un llenguatge a un altre. Aquests canvis de llenguatge són tan fàcils que no solem ser-ne conscients. Però no tots els canvis són tan senzills.

Si preguntem l’hora a algú no ens dirà mai que són les quatre i zero cinc, sinó les quatre i cinc. El sistema de dir minuts i segons no és decimal, sinó en base 60. Per indicar que passa mitja hora de les quatre no diem mai -excepte per fer una gracieta- que són les quatre coma cinc, sinó que diriem que són dos quarts de cinc, o la forma menys genuïna però ara acceptada de les quatre i mitja. Ho diem en femení perquè implícitament parlem d’hores. Les altres unitats de temps que són el dia de 24 hores, la setmana de 7 dies, el mes de 28, 29, 30 o 31 dies, i l’any de 12 mesos, i 365 o 366 dies, tampoc segueixen el sistema decimal i d’aquí la complicació de càlculs de dates i intervals de temps.

Hi ha moltes mesures quotidianes que tampoc són de base decimal. Per exemple, a més de la notació del temps, també els graus angulars, com quan es donen latituds i longituds: la latitud oficial del centre de Barcelona és de 41º 23′ 0,71″. Val la pena comentar dos detalls: els minuts i segons temporals s’han d’abreviar en el Sistema Internacional vigent com min i s, respectivament, i en canvi els minuts i segons geomètrics amb ‘ i “. I, per altra banda, encara que el sistema de mesura del temps o dels graus angulars sigui sexagesimal, cadascun dels seus tres components segueix el sistema decimal, i per això els segons geomètrics de la latitud de Barcelona són 0,71. Molts mapes i GPS no donen només les coordenades sexagesimals sinó amb xifres decimals, més fàcils d’introduir. La mesura decimal dels angles es fa amb el concepte de radian. Un radian (rad) té aproximadament 57º 17′ 45″, perquè per definició una circunferència té 2π radians. I deixem-ho aquí.

Un radian és l’angle que conté un arc que té una longitud com el radi. Fes clic per ampliar

Una altra mesura no decimal és el sistema antic d’enumerar nombres d’unitats. Una dotzena són 12 unitats, i una grossa són dotze dotzenes, o sigui 144 unitats. Els tipògrafs usen també unitats no decimals: el cícero o pica és una amplada de 4,5126 mm a Espanya, i es divideix en 12 punts. Però el valor concret depèn dels països, perquè no és una mesura unificada. Aquests punts són les amplàries de la font usada en l’escriptura, que es tria en escriure un text amb ordinador.

La unitat anglesa de longitud segueix sent el peu (foot, ft) , que té dotze polzades (inch). Per complicar una mica la cosa una polzada s’abreuja com a in i també amb el símbol “, com els segons sexagesimals. Per definició un peu són ara 0,3048 m, i tres peus són una iarda (yard). La cosa es complica amb les milles terrestres (1609 m) i milles marines (1852 m)…

Una polzada (inch) dividida en 16 fraccions. Fes clic per ampliar.

Un altre exemple d’unitats que no seguien el sistema decimal eren les unitats monetàries del Regne Unit pre-decimals, d’abans de 1971. Eren la lliura o lliura esterlina (pound o sterling pound, de símbol £), el xiling (schilling, de símbol s de solidus) i el penic (penny, plural pence, de símbol d de denier). Una lliura tenia 20 xilings i un xiling 12 penics. Des de 1971 una lliura té 100 nous penics (de símbol p). Per cert que hi ha moltes lliures segons el territori d’emissió, per exemple la lliura de Gibraltar o la d’Escòcia, totes del mateix valor que la del Regne Unit global.

Indicacions de carreteres del Regne Unit. No posen la barra de la fracció.

Encara al Regne Unit, a les carreteres solen indicar les distàncies amb trencats o fraccions : Birmingham 3 1/4 mi, no 3,75 mi. Costums que els sistemes de GPS mantenen: “in a quart of a mile…” que tradueixen “a quatre-cents metres…“. El sistema de fraccions és el que apliquem a la mesura del temps en català, tant per indicar l’hora – dos quarts de tres– com per indicar quantitat de temps, dues hores i mitja (és a dir, 150 minuts, i també dos quarts de tres). Arribem a precisar així fins a mig quart. Sembla que això té origen en els rellotges de sol, que permetien llegir l’hora en vuit mitjos quarts. Aquí et pots descarregar un rellotge en notació catalana [+].

Un dels models del rellotge CataClock, amb indicacions catalanes.

Cronòmetre centesimal (esquerra) i sexagesimal (dreta). Fes clic per ampliar,.

Calcular amb lliures i penics antics era complicat, i en canvi calcular amb euros i cèntims és fàcil. En aquest cas, el sistema decimal permet que els càlculs amb decimals i amb unitats monetàries siguin quasi equivalents quan ho escrivim, però en parlar és quan apareixen les terminologies citades al començament.

La unitat monetària euro €es divideix en cent cents, que s’abrevien ct, tant en singular com en plural. “Cent” és la denominació oficial, però a la pràctica tots els idiomes usen formes clàssiques com cèntim. Quan el cambrer en va dir quatre amb zero cinc barrejava el sistema decimal d’unitats monetàries, és a dir 4,05 €, i el sistema detallat, és a dir, 4 € amb 5 ct. Cap rebut ni factura inclou els cèntims detalladament quan s’escriuen les xifres, i només es fa servir el valor en euros i els decimals corresponents (1,80 €), però en omplir un xec pot usar-se la forma “un euro amb vuitanta cèntims” o ” “1 € amb 80 ct“. En lloc de la preposició amb es pot usar la conjunció i. Sempre es solen usar dos decimals en els rebuts: recomanen no escriure 15 €, sinó 15,00 €. Així s’eviten interpretacions errònies.

En resum, el cambrer devia imaginar que llegia 4,05 € i ho va dir textualment. Si hagués imaginat mentalment 4 € i 5 ct, potser hauria dit quatre amb cinc.

Som complicats…

Un euro d’Andorra i 50 cèntims de Letònia.

ALICIAICILA

Portada del llibre “Sietria”

Aquesta entrada és compartida amb el meu blog “Alícies, naturalment” [+]

Alguna vegada he llegit que les Alícies són els llibres més citats. Jo, de fet, les he citat des de molt abans que me’n posés a fer col•lecció. Els motius deuen ser diversos. En primer lloc, i sobre tot, la ingent quantitat de frases enginyoses, de doble sentit, de lògica, de jocs de paraules que contenen. Després, la peculiaritat de moltes situacions de les novel•les, relacionades amb l’espai, el temps i les dimensions. I, finalment, la varietat de personatges que en molts casos són arquetips de personalitats peculiars. Per tant, els filòsofs, els matemàtics, els psicòlegs, els sociòlegs, els lingüistes, els pedagogs, els físics i fins i tot els químics hi trobem aspectes que ens interessen o ens valen com a exemple de les disquisicions erudites o divulgatives. Costa més de trobar-hi relació amb biòlegs, geòlegs, astrònoms o enginyers, però fins i tot aquests poden aprofitar-ne alguna cosa.

Els científics en general -distingint-los dels científics socials o dels de la salut- som especialment afeccionats a les Alícies, i jo diria més al Mirall que a les Meravelles. En el Mirall Carroll va poder escriure un llibre des de zero, més planificat, amb l’estructura del joc d’escacs més tancada i definida. I amb menys bogeries, pel meu gust.

El llibre que es comenta a aquesta entrada és un breu text de divulgació científica sobre el concepte de simetria, en les seves vessants geomètrica, física, química i mineralògica. La seva relació amb les Alícies és que n’usa diversos exemples per a il•lustrar els conceptes científics, i això ens permetrà repassar-los breument. El llibre és escrit pel professor Miquel Àngel Cuevas, catedràtic emèrit de Cristal•lografia de la Universitat de Barcelona, i bon amic i col•lega d’un servidor.

A la introducció ens cita la frase d’Alícia quan es posa a llegir el poema Jabberwocky: “És, ben segur, un llibre del Mirall. Si el poso davant d’un mirall les paraules es tornaran del dret“. El perquè l’Alícia en travessar el mirall no s’ha invertit ella mateixa, sinó que s’ha mantingut com a l’altre costat, és un misteri que Carroll no explica, però que Tenniel va il•lustrar. Atesa l’extraordinària minuciositat amb que Carroll revisava les il•lustracions dels seus llibres, vol dir que ho volia així.

Tweedledee i Tweedledum segons Disney. Fes clic per ampliar

Un altre exemple citat per Cuevas en el capítol “Simetria i paraules” és el de la “melmelada ahir i melmelada demà, però no melmelada avui“. És, en certa manera, una simetria temporal, deguda a que “quan vius a l’inrevés, et mareges una mica…“. Futur i passat, simètrics respecte al present. I, a l’episodi de l’eruga, dreta i esquerra del bolet són indistingibles.

Al capítol “Dreta i esquerra” Cuevas es pregunta: “Tweedledum i Tweedledee són simètrics?“. En el dibuix de Tenniel semblen idèntics, però al text se’ns diu que un allarga la mà dreta a Alícia i l’altre l’esquerra. Potser un era dretà i l’altre esquerrà, però Cuevas ens diu que entre ells són enantiomorfs, paraula experta que vol dir que són simètrics, no només en les aparences sinó també al seu interior estructural, inclosos els òrgans. Un d’ells tindria un situs inversus total, que ens diuen els anatomistes: el cor a la dreta, el fetge a l’esquerra… però no per això aquesta persona seria esquerranes. Les il•lustracions de Disney són ambigües: a vegades semblen idèntics i a vegades simètrics. Els bessons de la pel·lícula de Tim Burton semblen també idèntics.

Els bessons segons Tenniel. Fes clic per ampliar

Al darrer capítol, “Simetria i punt final” imagina que el pas de l’Alícia del món real al món del Mirall seria equivalent al pas del món de la matèria al de l’antimatèria. Encara que el nom d’antimatèria sembla esotèric, és ben real. Es refereix, simplement, a la matèria formada per partícules amb propietats -càrrega elèctrica i altres- oposades a la matèria normal. Si un àtom està format per un nucli amb neutrons -neutres-, i protons -positius- i a la perifèria hi ha electrons -negatius- un àtom d’antimatèria tindria un nucli amb neutrons i antiprotons -negatius- i positrons, electrons positius. Això no és ciència-ficció. la tomografia per emissió de positrons és una coneguda tècnica de diagnòstic que fa això, usar positrons. El contacte amb matèria i antimatèria és fatal, perquè s’anihilen mutuament i desprenen només radiació. Si l’Alícia seguís sent matèria, i el Mirall antimatèria, es destruiria tot plegat en el moment en que l’Alícia comencés a passat a l’altre costat. Naturalment, en Carroll no sabia res d’això perquè encara no s’havia descobert l’estructura de l’àtom.

En canvi, un aspecte que em sorprèn que Cuevas no expliciti és la pregunta de l’Alícia “Serà bona la llet del mirall?“. Martin Gardner [+] explora aquesta pregunta destacant que entre les molècules de la llet hi ha proteïnes, sucres i greixos, i algunes d’aquestes molècules existeixen -aquí – en dues formes moleculars. Per resumir,en dues formes enantiomorfes, és a dir, dues formes que tenen una estructura especular. El nostre organisme només reconeix els gustos i es pot nodrir amb una d’aquestes formes, però no l’altra. Per tant, la llet del Mirall estaria formada per molècules especulars de les d’aquesta banda, i el nostre organisme no les notaria com a dolces, ni les podria assimilar. Si l’Alícia del Mirall és l’Alícia “d’aquí” no creuria que és llet. En podria beure, però no l’alimentaria de la mateixa manera. Però si es transmutés en l’Alícia especular, sí. Tampoc Carroll ens diu res d’això, perquè Pasteur encara no havia fet ni publicat els seus estudis sobre enantiòmers.

Jorge Wagensberg [+] especula encara amb una altra analogia del Mirall. Imagina que els nombres de la nostra banda del mirall són els nombres reals, que inclouen els naturals 1, els enters -3, els decimals 3,12, els racionals 1,333…, i els irracionals com pi (3,141592…) o l’arrel quadrada de 2. En canvi al Mirall hi viurien còmodes els nombres imaginaris, com i (l’arrel quadrada de -1 i nombres similars) i els complexos (suma d’un nombre real i d’un imaginari). No, malgrat que es denominen imaginaris no ens els podem imaginar: I és que els nombres imaginaris no és que no existeixin com si fossin unicorns, que sí que els podem imaginaar. Els nombres imaginaris existeixen en les matemàtiques, s’estudien al batxillerat i permeten resoldre problemes matemàtics i físics de diversos tipus, per exemple tot el que es refereix al corrent elèctric altern. El que passa és que no els visualitzem tan fàcilment com sí que visualitzem els altres nombres, tots al llarg d’una recta infinita a la que hi anem intercalant nombres.

Que lluny hem anat a parar des de l’Alícia…

FITXA DEL LLIBRE
Títol: Simetria. Un passeig interdisciplinari Contingut: Llibre de divulgació científica, amb alguns exemples trets de les Alícies
Idioma: català. Il•lustracions: diversos autors, i entre ells Tenniel .
Autor: Miquel Àngel Cuevas Diarte.
Editorial: Publicacions i Edicons de la Universitat de Barcelona, Barcelona (2015). Mida: 21*15 cm, rústica. 126 pàg. Preu: 15 € ISBN: 978-84-475-4216-1

Els bessons segons Tim Burton

CENTENARI DE MARTIN GARDNER

El dia que es publica aquest post (21-10-2014) és el centenari del naixement de Martin Gardner, autor de textos de matemàtiques recreatives, lluitador contra les pseudociències i estudiós de les Alícies. Li he dedicat un post d’encàrrec al meu blog en castellà de SciLogs [+], on destaco les tres facetes de la seva vida, i un post al meu blog de les Alícies [+], on enm centro en la darrera de les obres carrollianes que va fer: “The Hunting of the Snark” anotat.

Remeto al lector interessat a cadascun dels posts citats. Potser li agradaran…