IMAGINARIS

Agustí R. envia un comentari al post “L’home sense atributs. Digital i analògic” on fa una referència a Robert Musil i els nombres imaginaris. Anem-hi. Lector, seu.

Robert Musil, al seu llibre “Les tribulacions del jove Törless” (1906), inspirat en experiències personals, dedica un capítol a discutir el concepte de nombres imaginaris. Dos estudiants de l’acadèmia militar confronten les dues visions habituals davant de les coses inabastables a primera vista, la de tocar de peus a terra “si un concepte no té sentit no té sentit treballar-hi“, i la de “i per què no podem treballar amb un concepte encara que no tingui cap referent en el món real?”. El professor no els ajuda: el seu argument és que “s’hauria d’acontentar amb el fet que tals conceptes matemàtics no són precisament altra cosa que això: idees de naturalesa purament matemàtica. (…) Estimat amic, t’has de limitar a creure; quan sàpigues deu vegades més matemàtiques que no saps ara, llavors comprendras; però mentrestant: ¡creure!”.

Quant és l’arrel quadrada de -1? La resposta inmediata és que no existeix: no hi ha cap nombre que, en multiplicar-lo per ell mateix, doni un nombre negatiu. Però bé, volem dir que no hi ha cap nombre d’entre els nombres habituals que faci això, d’entre els nombres que escrivim amb guarismes. Si ens inventem un hipotètic valor i de tal manera que i x i = -1, ja està: l’arrel quadrada de -1 es diu i. Llavors, qualsevol nombre imaginari pur és, per definició, el producte d’un nombre real per la unitat imaginària: 4i, per exemple. I els podem sumar, restar, multiplicar… Però amb cura: si multipliquem 2i per 3i el resultat és -6…

Els nombres complexos -també denominats imaginaris- són els que tenen una part real i una altra imaginària pura. Per exemple 2 + 3i és un nombre complex. Aquest gènere de nombres els va inventar Raffaelle Bombelli, un matemàtic i enginyer italià el 1572. El nom de nombres imaginaris sembla que el va donar René Descartes, que s’oposava a les teories de Bombelli. I Leonhard Euler va ser qui va denominar i a la unitat imaginària, dos-cents anys després, el 1777. Leibniz deia dels nombres imaginaris eren “una espècie d’amfibi entre l’ésser i el no res“.

A la figura hi ha una equació denominada identitat d’Euler, que reuneix cinc nombres essencials a la matemàtica: 0, 1, e, i i pi (el 3,14…, que no em deixa escriure l’editor d’aquest blog). Els matemàtics leviten amb l’equació, en fan samarretes, corbates, se la tatuen… Com els químics fan amb la taula periòdica. No, no l’explicaré.

Equació que reuneix cinc nombres essencials en la matemàtica

Tot el tema dels nombres imaginaris i complexos es un dels conceptes sense relació amb la percepció habitual, perquè no en trobem referents al món real. Com l’entropia, com la física quàntica, com el potencial químic… Altres conceptes matemàtics també fan ballar el cap, si pretens entendre’ls. Els nombres transfinits, per exemple, que són els que van “més enllà d’infinit“. Si infinit ja és infinit, quin sentit té infinit al quadrat? És igual d’infinit (en llenguatge quotidià) però “més infinit” en llenguatge matemàtic. Cantor, l’inventor dels nombres transfinits o infinits, postulava l’existència d’un infinit absolut, que en certa manera identificava amb Déu.

Oi que et perds? És perquè pretens visualitzar-ho. Pretens entendre-ho, i hi ha conceptes que no es poden entendre.

Existeixen els nombres imaginaris? Existeix aquesta i?

Què vol dir que un nombre existeix? Ens és fàcil visualitzar alguns nombres: els nombres naturals 1, 2, 3, 4 els podem imaginar posats sobre una recta.Els altres nombres sencers -1, -2, -3 els podem posar a l’altre costat d’un punt arbitrari zero de la recta anterior. Els fraccionaris. junt amb els enters són tots els racionals. Els nombres racionals exactes com 3/4 o 0,75, i els periòdics com 10/3= 3,3333… , els interpolem entre dos nombres sencers: això ens ho podem imaginar fàcilment. Costa més imaginar que entre cadascun dels nombres racionals possibles –que són infinits- hi podem posar també un nombre infinit de nombres irracionals, és a dir, nombres amb una cadena infinita de decimals sense que hi hagi un grup de xifres que es repeteixi indefinidament, com pi o arrel quadrada de 2. Però creiem que ens ho podem arribar a imaginar, perquè ens imaginem una recta que anem tallant cada cop amb ganivets més fins. Evidentment que aquesta recta –la que els matemàtics en diuen la recta real– no en té res, de real: no existeix, i és una pura abstracció matemàtica feta anàloga a la veritable recta que podem dibuixar amb paper i llàpis, que no és infinita per cap costat, que té un gruix, i constituida per una seqüència de partícules de grafit posades sobre un tramat de fibres de cel•lulosa. La recta real dels matemàtics és el model imaginat d’una recta obtinguda com a extrapolació ideal del concepte de recta física. L’existència de tots els nombres citats és en el món matemàtic, que té una correlació fàcil amb el món de la recta real matemàtica, que té una correlació fàcil amb les rectes que dibuixem.

On anem, amb tot això? A dues conclusions que altres vegades ja hem comentat. La primera, no cal intentar comprendre el que no és comprensible, perquè la nostra comprensió descansa en la aprehensió dels sentits, i aquests conceptes no aprehensibles no poden ser reduits a experiència. La segona, que no es comprenguin no vol dir que no es puguin manipular, operar-hi, resoldre models matemàtics amb conceptes no comprensibles, i dissenyar objectes o processos reals amb conceptes aparentment tan poc reals. El corrent altern, per exemple.

L’aigua magatzemada a un embassament passa a través d’una turbina. Un alternador que gira amb la turbina produeix electricitat que arriba a casa. Això són fets reals. Per dissenyar un alternador -que fa corrent altern- cal que en fem una modelització matemàtica, modelització que redueix la realitat a models més o menys simplificats, i per tant no reals. Aquests models es resolen mitjançant la matemàtica complexa, que en cert sentit és també no real. Però els resultats del càlcul de models irreals amb matemàtiques imaginàries permet dissenyar aparells reals, que realment porten electricitat a casa.

Si visiteu una central elèctrica o una instal•lació industrial que usi electricitat, coexistint amb els sistemes de mesura i control que indiquen volts, ampers i vats –variables força quotidianes-, hi trobareu alguns aparells que mesuren una misteriosa variable matemàtico-física: el cosinus de fi (lletra grega que tampoc puc escriure). Es diuen cosímetres, cosinofímetres, cofímetres o fasímetres. Ens costa d’imaginar què és aquest cosinus de fi. Però els tècnics saben que ha de marcar un valor proper a la unitat, perquè si no es perden diners. Una variable molt abstracta té una repercussió molt concreta.

És una de les vegades en que la matemàtica dels models físics treu el nas al món de les realitats. Però no explicaré què és el cosinus de fi: primer hauria d’entendre-ho jo, i hem quedat que hi ha conceptes que no es poden entendre…

Cosímetre, cosinofímetre, cofímetre o fasímetre per mesurar el cosinus de fi, i quant corrent s'està perdent en el sistema

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s

%d bloggers like this: